Интегральная формула Коши

[StaticZero]

Получим формулу

$$ I(z) = \oint \limits_\Gamma \dfrac{f(w) \ \mathrm dw}{w - z} = 2 i \pi f(z), $$

если $z \in \operatorname{Int} \Gamma$.

Хочу поступить так: пусть $w - z = |w - z| e^{i \varphi}$, и пусть точка $z$ выброшена из $\operatorname{Int} \Gamma$ вместе с $\varepsilon$-окрестностью $U_\varepsilon$. Интеграл по $\Gamma$ равен интегралу по $\partial U_\varepsilon$, где окружность $\partial U_\varepsilon$, определяемая равенством $|w - z| = \varepsilon$, ориентирована так, чтобы при обходе по ней область оставалась справа. Получаем

$$ \oint \limits_\Gamma \dfrac{f(w) \ \mathrm dw}{w - z} = \oint \limits_{\partial U_\varepsilon} \dfrac{f(w) \ \mathrm dw}{w - z} = \int \limits_0^{2 \pi} \dfrac{f(z + \varepsilon e^{i \varphi}) \ i \varepsilon e^{i\varphi} \ \mathrm d\varphi}{\varepsilon e^{i \varphi}} = i \int \limits_0^{2 \pi} f(z + \varepsilon e^{i \varphi}) \ \mathrm d\varphi. $$

Под знаком интеграла можно сразу переходить к пределу при $\varepsilon \to 0$?

(TeX)

Мне тут форум пишет, что
$z \in \operatorname{Int} \Gamma$
[ОШИБКА] Вместо Int (символ 22) следует использовать \int
Но у меня ведь Int стоит внутри operatorname, чего он ругается?

[StaticZero]

Поясню, в чём проблема: я не могу понять, на каком уровне строгости я нахожусь. Хочется быть уверенным, что тут не надо возводить дополнительных надстроек типа теорем о том, что значок предела и интеграла можно переставить и прочего разного.

[ewert]

StaticZero в сообщении #1250505 писал(а):

я не могу понять, на каком уровне строгости я нахожусь.

Ну тупо и стандартно выделите в последнем выражении эф от зет плюс о-маленькое. И оговорите, что это "о" равномерно мало в силу равномерной непрерывности исходной функции. Шаблон.

Да, насчёт ТеХа. Не надо волноваться. Тутошнее начальство весьма предупредительно. Оно забило в движок предостережения на все случаи, которые только могут представиться. И иногда эти предостережения (выдаваемые на автомате) могут оказаться странными. Это -- ровно такой случай; соотв., и нервничать ни к чему.

[StaticZero]

ewert в сообщении #1250509 писал(а):

Ну тупо и стандартно выделите в последнем выражении эф от зет плюс о-маленькое

Тьфу, $f$ же регулярна. Тогда $f(z + \varepsilon e^{i \varphi}) = f(z) + A \varepsilon e^{i\varphi} + o(\varepsilon)$, и имеем

$$ I(z) = i \int \limits_0^{2\pi} f(z) \ \mathrm d \varphi + i \int \limits_0^{2 \pi} A \varepsilon e^{i \varphi} \ \mathrm d\varphi + i \int \limits_0^{2 \pi} o(\varepsilon) \ \mathrm d \varphi = 2 i \pi f(z) + 0 + o(\varepsilon). $$

Это хорошо и правильно?

[ewert]

StaticZero в сообщении #1250515 писал(а):

Это хорошо и правильно?

Мне кажется, что это не очень хорошо (а формально -- даже и неправильно, наверное). Во-первых, глупо выделять линейную часть приращения, поскольку важна лишь малость добавки. Во-вторых, Вы нигде не воспользовались равномерной малостью той добавки (что бы под ней ни понималось), а без неё как-то уныло.

[StaticZero]

ewert в сообщении #1250518 писал(а):

глупо выделять линейную часть приращения, поскольку важна лишь малость добавки

Тогда будет $O(\varepsilon)$. В общем-то, наверное, ничего страшного.

ewert в сообщении #1250518 писал(а):

Вы нигде не воспользовались равномерной малостью той добавки (что бы под ней ни понималось)

Мной под "равномерностью добавки" не понимается ничего. Никаким другим свойством, кроме того, что она [третье слагаемое] - о-малое от приращения, никогда не пользовался. А нужно? Ведь интеграл ограничен величиной порядка о-малое от $\varepsilon$.

[ex-math]

Почему бы не представить

$$ 2\pi if(z)=\int_{\partial U_{\varepsilon}}\frac{f(z)}{w-z}dw $$

и вычесть из требуемого. Тогда в числителе будет разность $f(w)-f(z)$ и дальше просто по определению непрерывности.

[StaticZero]

Угу, подсмотрел уже у Евграфова.