Признак сходимости Коши для случайных величин

[realeugene]

А. А. Боровков, "Теория вероятностей", М.: книжный дом ЛИБРОКОМ, 2017.
Теорема 6.1.3 (признак сходимости Коши): $\xi_n\to\xi$ в каком-нибудь смысле $(\underset{p}{\longrightarrow},\, \underset{\text{п.н.}}{\longrightarrow},\, \underset{(r)}{\longrightarrow})$ тогда и только тогда, когда $\xi_n$ фундаментальна в соответствующем смысле.

В учебнике сначала доказывается сходимость почти наверное, при этом выбирается достаточно быстро сходящаяся для каждого $\omega$ фундаментальная подпоследовательность $\xi_k$, и потом написаны такие слова: "... означающее, что последовательность чисел $\xi_k$ фундаментальна и что, следовательно, существует значение $\xi(\omega)$ такое, что $\left|\xi_k'(\omega)-\xi(\omega)\right|\to 0$ при $k\to 0$. Это означает, в свою очередь, что $\xi_k\underset{\text{п.н.}}{\longrightarrow}\xi$".

Вопрос: откуда следует, что эта предельная функция является случайной величиной?

[Brukvalub]

(Оффтоп)

Нет такой сходимости "почти наверняка", вы бы еще рассмотрели сходимость "зуб даю, сходится".

[dsge]

Brukvalub в сообщении #1249943 писал(а):

(Оффтоп)

Нет такой сходимости "почти наверняка", вы бы еще рассмотрели сходимость "зуб даю, сходится".

(Оффтоп)

Мамой клянусь!

[realeugene]

(Оффтоп)

Brukvalub в сообщении #1249943 писал(а):

Нет такой сходимости "почти наверняка", вы бы еще рассмотрели сходимость "зуб даю, сходится".

Спасибо, поправил.
"Зуб даю, сходится" - это когда всюду.

[NDP]

Поточечный предел последовательности измеримых функций измерим.
Следствие: Предел почти всюду тоже. (Изменение функции на множестве меры ноль на ее измеримость не влияет, см. опр.)

[realeugene]

NDP в сообщении #1249975 писал(а):

Поточечный предел последовательности измеримых функций измерим.

Поточечный предел последовательности измеримых функций измерим на множестве, на котором он существует.

NDP в сообщении #1249975 писал(а):

Изменение функции на множестве меры ноль на ее измеримость не влияет, см. опр.

А на подмножестве множества меры нуль -- влияет.

Спасибо. Есть над чем подумать дальше.

[NDP]

realeugene в сообщении #1249993 писал(а):

Спасибо. Есть над чем подумать дальше.

Можно и подумать, конечно. Но вообще это достаточно тривиальный факт. К сожалению, у меня проблемы с набором текста. Возьмите Колмогоров Фомин и прочитайте "Измеримые функции".

realeugene в сообщении #1249993 писал(а):

А на подмножестве множества меры нуль -- влияет.

Не влияет. Это совершенно очевидно было бы, если записать определения и сравнить. Множество нулевой меры измеримо, хоть добавляй его, хоть вычитай. Доопределить функцию на нем можно любым образом и на измеримость функции это не повлияет.

[realeugene]

В общем, остальное просто. Так как множество, на котором предел существует, измеримо, множество $N$, на котором предел не существует, тоже измеримо и имеет меру нуль по доказательству теоремы. Тогда, доопределив $\xi(\omega)$ на $N$ нулём (или любой другой константой) получаем измеримую $\xi(\omega)$.

-- 23.09.2017, 14:32 --

NDP в сообщении #1250008 писал(а):

Множество нулевой меры измеримо, хоть добавляй его, хоть вычитай.

А вот произвольное подмножество измеримого множества меры нуль само обязательно измеримо только для полной меры. Мера Бореля, например, полной не является.

[NDP]

realeugene в сообщении #1250011 писал(а):

А вот произвольное подмножество измеримого множества меры нуль само обязательно измеримо только для полной меры.

Это да, но я стараюсь не забывать, что у нас вероятностная мера. И что сходимость не просто п.в., а всюду, кроме, быть может, точек $A$ - которое событие.

... в общем, вы уже все сами написали.

[realeugene]

NDP в сообщении #1250014 писал(а):

Это да, но я стараюсь не забывать, что у нас вероятностная мера.

Вот именно. У вероятностной меры нет аксиомы полноты. Я как раз пытаюсь разобраться, к каким последствиям это приводит.

А приводит это к тому, что для вероятностей измеримость предельных функций в Фату-Лебеге постулируется в условиях теорем, а для полных мер она доказуема.

-- 23.09.2017, 15:36 --

Всем спасибо. Вопрос исчерпан.