Укажите множество, являющееся своим собственным элементом

[arseniiv]

CMTV в сообщении #1249337 писал(а):

mihaild в сообщении #1249323 писал(а):

В наивной теории можно хоть взять $\varnothing$ и доказать что $\varnothing \in \varnothing$.

Не согласен. Пустое множество определяется формой $x\neq x$ или любой другой формой, которая для любого объекта образует ложное высказывание.

Отсюда имеем, что в пустом множестве нет элементов, а значит оно не может принадлежать самому себе.

Эти рассуждения справедливы даже для наивной теории множеств.

Не, если теория противоречивая, в ней выводимо любое предложение, так что пустое множество там одновременно себе и принадлежит, и нет. Как и все остальные. И даже всем множествам. И они, как нетрудно догадаться, все друг другу равны и неравны.

[CMTV]

arseniiv в сообщении #1249349 писал(а):

Не, если теория противоречивая, в ней выводимо любое предложение

Я часто слышал что-то подобное. Но не разу не видел конкретного примера. Очень прошу привести цепочку рассуждений (в образовательных целях), которая от противоречивости наивной теории множеств (например, факта, что существует множество Рассела, которое одновременно себе принадлежит и не принадлежит) приведет к тому, что $\varnothing\in\varnothing$ или $\varnothing\neq\varnothing$.

Ну или послать меня туда, где это наглядно показано :)

[iifat]

Ну, на языке логики это звучит примерно так: $A\to(\bar A\to B)$. Вроде б, известное утверждение, хотя точно источник не назову.

-- 21.09.2017, 16:37 --

Sonic86 в сообщении #1249277 писал(а):

Множество бесконечных множеств. (шутка)

Не понял шутки. В наивной теории вполне себе правильный ответ, не?

[george66]

CMTV в сообщении #1249414 писал(а):

arseniiv в сообщении #1249349 писал(а):

Не, если теория противоречивая, в ней выводимо любое предложение

Я часто слышал что-то подобное. Но не разу не видел конкретного примера. Очень прошу привести цепочку рассуждений (в образовательных целях), которая от противоречивости наивной теории множеств (например, факта, что существует множество Рассела, которое одновременно себе принадлежит и не принадлежит) приведет к тому, что $\varnothing\in\varnothing$ или $\varnothing\neq\varnothing$.

Ну или послать меня туда, где это наглядно показано :)

Доказательство Рассела "Если $2\times 2=5$, то я римский папа. Вычитаем из обеих частей 3 и получаем $1=2$. Поэтому, если я и папа - два разных человека, то это один человек."

[CMTV]

george66 в сообщении #1249422 писал(а):

Доказательство Рассела "Если $2\times 2=5$, то я римский папа. Вычитаем из обеих частей 3 и получаем $1=2$. Поэтому, если я и папа - два разных человека, то это один человек."

Честно говоря, я совсем не понял то, что вы написали...

[mihaild]

Собственно аксиома логики высказываний: $\neg A \rightarrow (A \rightarrow B)$. Подставляем в качестве $A$ "множество Рассела принадлежит себе", в качестве $B$ нужное нам утверждение, доказываем $A$ и $\neg A$, и дальше дважды применяем modus ponens.

[arseniiv]

CMTV в сообщении #1249445 писал(а):

Честно говоря, я совсем не понял то, что вы написали...

Ну, это в некотором роде шутливое доказательство.

[george66]

Множество всех множеств является своим элементом. Его элементы - это все множества, в том числе оно само. Есть система аксиом New Foundations, в которой одна из аксиом говорит "существует множество всех множеств". Зато там аксиомы выделения не всегда верны. Ещё там есть ординал всех ординалов.

[Sonic86]

(iifat)

iifat в сообщении #1249416 писал(а):

Не понял шутки. В наивной теории вполне себе правильный ответ, не?

М.б. и правильный, но сама теория-то противоречива, да и формально записать определение бесконечного множества я бы не смог

CMTV в сообщении #1249445 писал(а):

george66 в сообщении #1249422 писал(а):

Доказательство Рассела "Если $2\times 2=5$, то я римский папа. Вычитаем из обеих частей 3 и получаем $1=2$. Поэтому, если я и папа - два разных человека, то это один человек."

Честно говоря, я совсем не понял то, что вы написали...

Ну если $2=1$, то $(\forall a,b)\{a,b\}=\{a\}$.

[Sinoid]

Sonic86 в сообщении #1249634 писал(а):

$(\forall a,b)\{a,b\}=\{a\}$.

А разве квантор(ы) так можно употреблять?

[arseniiv]

А что не так? Если то, что не указано, какому множеству принадлежат $a, b$, то это ведь нормально. Если расстановка скобок — ну, тут кто во что горазд, когда пишет не учебник логики. (Я вообще непоследователен и пытаюсь иногда использовать синтаксис того места, где пишу.) Кажется очевидным, что имеется в виду $\forall a\forall b(\{a\} = \{a,b\})$, ну и последнее, если вдруг именно в нём дело, рассахаривается в $\forall x(x = a\leftrightarrow x=a\vee x=b)$, что через манипуляции превращается в $a = b$.

[angor6]

Я думаю, что не сильно нарушу правила форума, если в контексте обсуждаемой темы задам вопрос, является ли пустое множество подмножеством пустого множества. В своё время отказ от ответа на такой вопрос экзаменатора стоил мне лишнего часа сдачи экзамена по высшей математике. Ответа на этот вопрос я не знаю до сих пор...

[Xaositect]

angor6 в сообщении #1249956 писал(а):

Я думаю, что не сильно нарушу правила форума, если в контексте обсуждаемой темы задам вопрос, является ли пустое множество подмножеством пустого множества. В своё время отказ от ответа на такой вопрос экзаменатора стоил мне лишнего часа сдачи экзамена по высшей математике. Ответа на этот вопрос я не знаю до сих пор...

Обсуждалось: post773674.html#p773674

[angor6]

Xaositect
Спасибо! Буду читать.

[Mikhail_K]

angor6 в сообщении #1249956 писал(а):

Я думаю, что не сильно нарушу правила форума, если в контексте обсуждаемой темы задам вопрос, является ли пустое множество подмножеством пустого множества. В своё время отказ от ответа на такой вопрос экзаменатора стоил мне лишнего часа сдачи экзамена по высшей математике. Ответа на этот вопрос я не знаю до сих пор...

Да, является. $A\subset B$ - это значит, что любой элемент множества $A$ лежит в $B$. $\varnothing\subset\varnothing$ означает, что любой элемент из $\varnothing$ лежит в $\varnothing$.

И это действительно так. А если не верите, то предъявите элемент $\varnothing$, который не лежит в $\varnothing$!

Можно зайти с другой стороны. $A=B$ означает, по определению, $A\subset B$ и $B\subset A$. Очевидно, $\varnothing=\varnothing$. Значит, $\varnothing\subset\varnothing$.

Но, конечно, пустое множество не является собственным подмножеством пустого множества. Потому что, $A$ есть собственное подмножество $B$ - это значит, что $A\subset B$ и $A\neq B$. В случае $A=B=\varnothing$ последнее неверно.