Умножение множеств.

[granit201z]

Сложить два произвольных множества понятно как:

$\left\lbrace a, 7, krokodil \right\rbrace + \left\lbrace a, b, 18 \right\rbrace = \left\lbrace a, b, 7, 18, krokodil \right\rbrace$

А как их перемножить?

Википедия говорит:

Цитата:

Прямое или декартово произведение двух множеств — это множество, элементами которого являются все возможные упорядоченные пары элементов исходных множеств.

Т.е. возведение множества из трех элементов в куб даст множество из 27 элементов.

Но у Виленкина в "Рассказах о множествах" в параграфе "Алгебра множеств" говорится, что возведение множества в любую степень даст само это множество. Что я не так понимаю?

[angor6]

granit201z

granit201z в сообщении #1249096 писал(а):

Сложить два произвольных множества понятно как:

$\left\lbrace a, 7, krokodil \right\rbrace + \left\lbrace a, b, 18 \right\rbrace = \left\lbrace a, b, 7, 18, krokodil \right\rbrace$

А как их перемножить?

Здесь нужно уточнить, что имеется в виду под умножением множеств: нахождение их пересечения или нахождение декартова произведения. Учитывая, что Вы назвали суммой множеств результат их объединения, я думаю, что Вам нужно найти не декартово произведение, а пересечение множеств. Вы знаете, что это такое?

[granit201z]

angor6 в сообщении #1249099 писал(а):

Здесь нужно уточнить, что имеется в виду под умножением множеств: нахождение их пересечения или нахождение декартова произведения. Учитывая, что Вы назвали суммой множеств результат их объединения, я думаю, что Вам нужно найти не декартово произведение, а пересечение множеств. Вы знаете, что это такое?

$\left\lbrace a, 7, krokodil \right\rbrace \cdot \left\lbrace a, b, 18 \right\rbrace = \left\lbrace a \right\rbrace$

То есть так?

[angor6]

granit201z
Да. Только не нужно использовать символ "точка" для обозначения "умножения" множеств. Есть общепринятый символ пересечения.

[granit201z]

angor6 в сообщении #1249106 писал(а):

Да. Только не нужно использовать символ "точка" для обозначения "умножения" множеств. Есть общепринятый символ пересечения.

Спасибо

[Aritaborian]

...и обозначается оно так: $A \cap B$ (A \cap B). Объединение, соотв., так: $A \cup B$ (A \cup B).

[granit201z]

Aritaborian в сообщении #1249122 писал(а):

...и обозначается оно так: $A \cap B$ (A \cap B). Объединение, соотв., так: $A \cup B$ (A \cup B).

И если сравнивать с алгеброй многочленов, то свойства "объединения" близки к свойствам "сложения", а свойства "пересечения" близки к свойствам "умножения". Так?

[Aritaborian]

Считаю, что для вас на данном этапе эта аналогия пользы не принесёт, лучше ею не заморачиваться.

[Xaositect]

granit201z в сообщении #1249123 писал(а):

И если сравнивать с алгеброй многочленов, то свойства "объединения" близки к свойствам "сложения", а свойства "пересечения" близки к свойствам "умножения". Так?

Нет. Объединение и пересечение полностью симметричны, в любом тождестве можно заменить объединение на пересечение и наоборот, и тождество останется верным.
Например, верны два закона дистрибутивности: $a \cap (b \cup c) = (a \cap b) \cup (a \cap c)$ и $a \cup (b \cap c) = (a \cup b) \cap (a \cup c)$.
В алгебре многочленов есть только дистрибутивность умножения относительно сложения: $a(b + c) = ab + ac$, для $a+bc$ такого свойства нет.

-- Ср сен 20, 2017 10:00:03 --

К свойствам сложения ближе симметрическая разность $A \triangle B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A) = (A \cup B) \setminus (A \cap B)$.
Вообще, объединение множеств сейчас нигде сложением не называют, кроме м.б. теории вероятностей.

[realeugene]

granit201z в сообщении #1249123 писал(а):

И если сравнивать с алгеброй многочленов, то свойства "объединения" близки к свойствам "сложения", а свойства "пересечения" близки к свойствам "умножения". Так?

Лучше сравнивать с булевой алгеброй. Гораздо больше похожих свойств.

[arseniiv]

Ещё свойствами, похожими по-другому на сложение, обладает дизъюнктное объединение. В частности, если обозначить его $\sqcup$, для конечных множеств $|A\sqcup B| = |A| + |B|$.

[Anton_Peplov]

realeugene в сообщении #1249141 писал(а):

Лучше сравнивать с булевой алгеброй. Гораздо больше похожих свойств.

Ну, пара операций "$\Delta$ в качестве сложения, $\cap$ в качестве умножения" на подходящей системе множеств в точности и образует булеву алгебру:)

А вообще кольцо с единицей - оно и есть кольцо с единицей.

[realeugene]

Anton_Peplov в сообщении #1249255 писал(а):

Ну, пара операций "$\Delta$ в качестве сложения, $\cap$ в качестве умножения" на подходящей системе множеств в точности и образует булеву алгебру:)

Разве?

-- 20.09.2017, 21:05 --

Xaositect в сообщении #1249128 писал(а):

К свойствам сложения ближе симметрическая разность $A \triangle B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A) = (A \cup B) \setminus (A \cap B)$.

К сложению в поле GF(2).

[arseniiv]

Anton_Peplov в сообщении #1249255 писал(а):

на подходящей системе множеств в точности и образует булеву алгебру:)

Смотря как определять её. Ещё её определяют как алгебру с операциями $\vee, \wedge,\neg$ (по смыслу — инфимум и супремум пары элементов и ясно что) (и я чаще встречался с таким определением) или как особый вид частично упорядоченного множества (но операции потом всё равно вводят — как без них?). Эти два способа идут от решёток, их тоже так и эдак.

realeugene в сообщении #1249279 писал(а):

К сложению в поле GF(2).

Ну ведь сложение в общем случае — это одна из операций какого-то кольца (или там почти кольцо/полукольцо/полупочтикольцо etc.).

[realeugene]

arseniiv в сообщении #1249284 писал(а):

Ну ведь сложение в общем случае — это одна из операций какого-то кольца

Но не всегда группа по сложению циклическая.