Предел последовательности

[art_kg]

$(\lim_{n\rightarrow\infty} x_n=a)\Leftrightarrow(\forall \varepsilon \exists N_\varepsilon: \forall n\geq N_\varepsilon \to |x_n-a|< \varepsilon). $
Изучаю вот это определение, методика доказательства существования предела вполне ясна, задачи получается решать. Но что вот волнует, так это если допустим взять последовательность:
$ \frac{1}{n + 3}$
Доказать что передел равен нулю, все хорошо. Получается выразить $ n $ через неравенство с $\varepsilon$. Если пытаюсь доказать, что предел равен неверному значению, не получает выразить $ n $ через неравенство с $\varepsilon$. Не пониманию как это работает. То есть между формулой $ n-го $ элемента и значением его предела есть какая то связь, которая не позволяет выражать $ n $ через неравенство с $\varepsilon$.
Извините за сумбурное объяснение. Может подскажите куда копнуть?

[iifat]

art_kg в сообщении #1248017 писал(а):

Извините за сумбурное объяснение. Может подскажите куда копнуть?

(Чеша в затылке) Имхо, объяснение настолько сумбурное, что неясно, куда, собственно, копать. Вы до чего хотели б докопаться?

art_kg в сообщении #1248017 писал(а):

Если пытаюсь доказать, что предел равен неверному значению, не получает выразить $ n $ через неравенство с $\varepsilon$

Вообще-то, этого мало. Чтоб доказать, что число не является пределом, надо указать некую окрестность этого числа, за пределами коей будет бесконечное количество точек последовательности.

[Mikhail_K]

Определение означает: для всех $\varepsilon$, существует номер, начиная с которого все члены последовательности лежат в $\varepsilon$-окрестности точки $a$. Понимаете?

То есть определение предполагает, что какую бы мы сколь угодно крохотную окрестность точки $a$ ни взяли, в ней лежат все члены последовательности начиная с некоторого номера.

Ну и это объективный факт. Если они кучкуются вблизи одной точки, то точно не вблизи другой.

Посмотрите ещё, может, доказательство того что у последовательности не может быть двух разных пределов; возможно это то, что Вас интересует.

[gefest_md]

Чтобы показать, что $1$ не есть предел надо доказать отрицание определения: $\exists\varepsilon\forall N_\varepsilon\exists n>N_\varepsilon\dots$.
Теперь надо искать подходящий $\varepsilon$.
Например, выразите $n$ из неравенства
$\left|1-\frac{1}{n+3}\right|\geqslant\frac23$
Доказательство начинается так: Пусть $\varepsilon=\frac23$. Пусть $N_\varepsilon$ произвольный. Пусть $n=N_\varepsilon\geqslant 0$ ...

[art_kg]

iifat в сообщении #1248019 писал(а):

art_kg в сообщении #1248017 писал(а):

Извините за сумбурное объяснение. Может подскажите куда копнуть?

(Чеша в затылке) Имхо, объяснение настолько сумбурное, что неясно, куда, собственно, копать. Вы до чего хотели б докопаться?

art_kg в сообщении #1248017 писал(а):

Если пытаюсь доказать, что предел равен неверному значению, не получает выразить $ n $ через неравенство с $\varepsilon$

Вообще-то, этого мало. Чтоб доказать, что число не является пределом, надо указать некую окрестность этого числа, за пределами коей будет бесконечное количество точек последовательности.

Я просто не понимаю, как взяв окрестность мы проверяем существования предела, просто пока в голове картинка такая, что взяв неправильное значение предела все условия определения выполняться. У неправильного предела есть окрестность и вполне могут быть N элементы которые будут находится в этой окрестности. Пока я вижу что разница между правильным и неправильным пределом заключается в возможности выразить $N(\varepsilon)$, тогда как остальные условия по моему видению выполняются как для правильного, так и для неправильного.

Mikhail_K в сообщении #1248020 писал(а):

Посмотрите ещё, может, доказательство того что у последовательности не может быть двух разных пределов; возможно это то, что Вас интересует.

Спасибо за наводку, есть подозрения что это мне подойдет)

[Mikhail_K]

art_kg в сообщении #1248022 писал(а):

У неправильного предела есть окрестность и вполне могут быть N элементы которые будут находится в этой окрестности.

В окрестности "неправильного предела" могут лежать несколько членов последовательности. Но нужно ведь, чтобы лежали не несколько, а все члены, начиная с некоторого! И притом в любой окрестности, даже очень маленькой!
(Посмотрите ещё раз мой "перевод определения на русский язык" в предыдущем сообщении, всё ли там понятно?)
Если все члены последовательности начиная с некоторого номера лежат в маленькой окрестности точки $a$, то они точно не могут лежать в столь же маленькой окрестности точки $b$ (если окрестности взять поменьше, чтобы они не пересекались).

[art_kg]

Mikhail_K в сообщении #1248038 писал(а):

art_kg в сообщении #1248022 писал(а):

У неправильного предела есть окрестность и вполне могут быть N элементы которые будут находится в этой окрестности.

В окрестности "неправильного предела" могут лежать несколько членов последовательности. Но нужно ведь, чтобы лежали не несколько, а все члены, начиная с некоторого! И притом в любой окрестности, даже очень маленькой!
(Посмотрите ещё раз мой "перевод определения на русский язык" в предыдущем сообщении, всё ли там понятно?)
Если все члены последовательности начиная с некоторого номера лежат в маленькой окрестности точки $a$, то они точно не могут лежать в столь же маленькой окрестности точки $b$ (если окрестности взять поменьше, чтобы они не пересекались).

Я понимаю, что при наличие предела, слева последовательность имеет ограниченное количество элементов. Мне интересно как данное неравенство $ |x_n-a|< \varepsilon$ выявляет все ли элементы справа после какого номера попали в окрестность. Ведь на ложном значение предела, именно это неравенство не дает выразить n, тогда как для правильно спокойно выражается. Хочу понять почему так происходит.
Почитал про доказательство единственность предела последовательности - ну это не то немного, доказательство следует из определения, а мне интересно как работает определение)

[iifat]

То, что $N_\varepsilon$ легко выражается — это свойство вашего конкретного примера. Не все им обладают.

art_kg в сообщении #1248096 писал(а):

именно это неравенство не дает выразить n

Дело совершенно не в том, «даёт иль не даёт». Дело в том, чтобы доказать одно либо другое высказывание.

[art_kg]

iifat в сообщении #1248121 писал(а):

То, что $N_\varepsilon$ легко выражается — это свойство вашего конкретного примера. Не все им обладают.

art_kg в сообщении #1248096 писал(а):

именно это неравенство не дает выразить n

Дело совершенно не в том, «даёт иль не даёт». Дело в том, чтобы доказать одно либо другое высказывание.

Так если не получается выразить $n$ то и доказать предел не возможно. Доказать что значение не является пределом опять же как я понимаю идет через концепцию того, что нет такого $n$, которое выражалось бы через $|x_n-a|< \varepsilon$

[iifat]

art_kg в сообщении #1248141 писал(а):

если не получается выразить $n$ то и доказать предел не возможно

Вот ещё. Почитайте про число $e$, хотя бы.

[art_kg]

Спасибо почитаю.
Я просто пытаюсь осознать как вот это неравенство $|x_n-a|< \varepsilon$ позволяет проверить уложился ли хвост последовательности в окрестность $\varepsilon$. Почитал про понятие фундаментальной последовательности, геометрически стало более понятным, почему если взято неверное значение предела, то при увлечение $n > N $ , которое выходит за пределы окрестности $\varepsilon$, поскольку (к примеру) предел взят левее чем настоящее значение, то неравенств $|x_n-a|< \varepsilon$ после выхода из окрестности становится неверным, тогда как если взято правильное значение, то там выходить собственно и не куда и неравенство выполняется.

[Mikhail_K]

art_kg в сообщении #1248155 писал(а):

Я просто пытаюсь осознать как вот это неравенство $|x_n-a|< \varepsilon$ позволяет проверить уложился ли хвост последовательности в окрестность $\varepsilon$.

Ну Вы понимаете, что $|x_n-a|<\varepsilon$ $\Leftrightarrow$ $-\varepsilon<x_n-a<\varepsilon$ $\Leftrightarrow$ $a-\varepsilon<x_n<a+\varepsilon$ $\Leftrightarrow$ $x_n\in(a-\varepsilon,a+\varepsilon)$?

[iifat]

Вы как-то зациклились на этом неравенстве. А это просто часть определения предела. Использование его таким вот способом — скорее, исключение. Из него выводятся другие свойства, и они уже проверяются. К примеру, в теме о числе $e$, помнится, используется теорема о том, что возрастающая ограниченная последовательность имеет предел. Никто не пытается доказать (применительно к $e$) существование предела по определению.

[art_kg]

Mikhail_K в сообщении #1248161 писал(а):

Ну Вы понимаете, что $|x_n-a|<\varepsilon$ $\Leftrightarrow$ $-\varepsilon<x_n-a<\varepsilon$ $\Leftrightarrow$ $a-\varepsilon<x_n<a+\varepsilon$ $\Leftrightarrow$ $x_n\in(a-\varepsilon,a+\varepsilon)$?

Ну как бы да понимаю. Что $x_n$ принадлежит $\varepsilon$ окрестности. Но если я беру неправильное значение предела, то у него тоже будет окрестность и некоторые $x_n$ будут принадлежать этой окрестности. Я не понимаю как происходит вычисление по определению правильности или неправильности предела. Вы постоянно переписываете определение на новый лад) а я пытаюсь разобраться почему неравенство реагирует по разному на правильное и неправильное значение предела. То есть больше само вычисление интересует.

iifat в сообщении #1248164 писал(а):

Вы как-то зациклились на этом неравенстве. А это просто часть определения предела. Использование его таким вот способом — скорее, исключение. Из него выводятся другие свойства, и они уже проверяются. К примеру, в теме о числе $e$, помнится, используется теорема о том, что возрастающая ограниченная последовательность имеет предел. Никто не пытается доказать (применительно к $e$) существование предела по определению.

Ну дано определение, с помощью которого можно доказать предел. Но я не понимаю, как определению вычисляет эту возможность, ну как это произнести и геометрически нарисовать пониманию, а как сам процесс вычисления происходит не пойму пока.

[mihaild]

art_kg в сообщении #1248298 писал(а):

то у него тоже будет окрестность и некоторые $x_n$ будут принадлежать этой окрестности

Что будет с конечным числом $x_n$ - неважно, как и что будет с какой-то конкретной окрестностью. Важно только что будет с достаточно маленькими окрестностями и далекими $x_n$.

art_kg в сообщении #1248298 писал(а):

а я пытаюсь разобраться почему неравенство реагирует по разному на правильное и неправильное значение предела

Пусть предел равен $a$. Возьмем $b \neq a$. Возьмем $\varepsilon < \frac{|a - b|}{2}$. Пусть при $n > N$ все $x_n$ лежат в $U_\varepsilon(a)$. Что можно сказать про $x_n$ ($n > N$) и $U_\varepsilon(b)$?