Ряд Лорана

[StaticZero]

Определить главную часть и вычет функции $\dfrac{\sin z}{z^2 (1 - \exp{2z})^2}$ в нуле.

Я, наверное, чего-то не понимаю. Разделю функцию на два множителя: $\dfrac{\sin z}{z^2} \times \left(\dfrac{1}{1 - \exp{2z}}\right)^2$. Буду раскладывать второй по степеням $1/z$, сделаю замену $u = 1/z$.

$$ \begin{align*} \dfrac{1}{1 - \exp{2z}} &= \dfrac{1}{1 - \exp{2/u}} = \dfrac{1}{1 - \big(1 + 2/u + 2/u^2 + 4/u^3 + O(1/u^4)\big)} = -\dfrac{1}{\dfrac{2}{u} + \dfrac{2}{u^2} + \dfrac{4}{u^3} + O(u^{-4})} = \\ &= \dfrac{u}{2} \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{u} + \dfrac{2}{u^2} + O(u^{-3})} = \\ &= \dfrac{u}{2} \left[1 - \left(\dfrac{1}{u} + \dfrac{2}{u^2} + O(u^{-3})\right) + \left(\dfrac{1}{u} + \dfrac{2}{u^2} + O(u^{-3})\right)^2 + O(u^{-3})\right] = \\ &= \dfrac{u}{2} \left[1 - \dfrac{1}{u} - \dfrac{2}{u^2} + \dfrac{1}{u^2} + O(u^{-3})\right] = \\ &= \dfrac{u}{2} \left[1 - \dfrac{1}{u} - \dfrac{1}{u^2} + O(u^{-3})\right] = \dfrac{u}{2} - \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2u} + O(u^{-2}). \end{align*} $$

$$ \left( \dfrac{1}{1 - \exp{2z}}\right)^2 = \dfrac{u^2}{4} - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4u^2} - \dfrac{u}{2} + \dfrac{1}{2u} + O(u^{-4})$$

Разложение для оставшегося множителя:

$$ \dfrac{\sin z}{z^2} = \dfrac{z - \dfrac{z^3}{6} + O(z^5)}{z^2} = u - \dfrac{1}{6u} + O(u^{-3}). $$

Перемножаем с точностью до $O(1)$:

$$ f(z) = \dfrac{u^3}{4} - \dfrac{u^2}{2} - \dfrac{7 u}{24} + O(1). $$

Но вычет тут неправильный, согласно Wolfram. Не могу найти, где я кого прошляпил.

[g______d]

StaticZero в сообщении #1248000 писал(а):

$$ \left( \dfrac{1}{1 - \exp{2z}}\right)^2 = \dfrac{u^2}{4} - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4u^2} - \dfrac{u}{2} + \dfrac{1}{2u} + O(u^{-4})$$

Слева квадрат суммы, а справа сумма квадратов. Где удвоенное произведение?

[StaticZero]

g______d, так удвоенные произведения тоже все есть. Я кусок ряда из трёх членов возвёл в квадрат.

[g______d]

Ну так вы где-то должны были $\frac{u}{2}$ умножить на $O(u^{-2})$ и получить $O(u^{-1})$, которое потом никуда не денется.

[StaticZero]

g______d в сообщении #1248006 писал(а):

которое потом никуда не денется.

Да, правильно. Но множитель $\sin z/z^2$ даёт только первую степень $u$ и ниже, что при умножении даст $O(1)$.

[g______d]

Хорошо, надо найти ещё одну ошибку. Где у вас $3!$ в разложении экспоненты в ряд?

[StaticZero]

Троечка пропала. Если вернуть её на место, получаю

$$ \dfrac{1}{1 - \exp 2z} = \dfrac{u}{2} - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{6u} + O(u^{-3}), $$

$$ \left(\dfrac{1}{1 - \exp 2z}\right)^2 = \dfrac{u^2}{4} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{36u^2} - \dfrac{u}{2} - \dfrac{1}{6u} + \dfrac{1}{6} + O(u^{-2}) = \dfrac{u^2}{4} - \dfrac{u}{2} + \dfrac{5}{12} + O(u^{-1}). $$

Умножение на $u - \dfrac{1}{6u}$ даёт

$$ \ldots = \dfrac{u^3}{4} - \dfrac{u^2}{2} + \dfrac{5u}{12} + O(1) - \dfrac{u}{24} = \dfrac{u^3}{4} - \dfrac{u^2}{2} + \dfrac{9 u}{24} + O(1). $$

Три восьмых получилось, спасибо большое.

(Оффтоп)

Я со страницы на страницу ляпал одну и ту же ошибку, совершенно её не замечая, поделив в голове восемь на шесть и получая четыре

[ewert]

StaticZero в сообщении #1248000 писал(а):

Буду раскладывать второй по степеням $1/z$, сделаю замену $u = 1/z$.

Зачем, когда разложение-то нужно по $z$? Раскладывайте в лоб:

$$\left(1-e^{2z}\right)^{-2}=\left(2z+\frac{4z^2}2+\frac{8z^3}6+O(z^4)\right)^{-2}=\frac1{4z^2}\left(1+z+\frac{2z^2}3+O(z^3)\right)^{-2}=$$

$$=\frac1{4z^2}\left(1-2\left(z+\frac{2z^2}3\right)+\frac{(-2)(-3)}2z^2+O(z^3)\right)=\frac1{4z^2}\left(1-2z+\frac{5z^2}3+O(z^3)\right)$$