Делимость целых чиссел

[Stensen]

Всех с днем знаний! Помогите с задачей: как доказать, что число: $ \overline{ab}\cdot \overline{cd}$, где: $\overline{ab} , \, \overline{cd}$ - двузначные числа, дающие в произведении 4-х значное не делится на $11$ (сами эти числа на $11 $ не делятся). Если представить это произведение ив явном виде: $ \overline{ab}\cdot \overline{cd} = (10a+b)(10c+d)=100ac+10(ad+bc)+bd$, то про сумму ничего сказать нельзя, хотя очевидно первое и третье слагаемые на $11$ не делятся, т.к. $bd,ac \ne \left\lbrace 0,11,22,33,44,55,66,77,88,99 \right\rbrace$.

[grizzly]

Stensen
Предполагается, что единственность разложения числа на простые нам не известна, правильно? А что известно? может какой-то из признаков делимости на 11 уже проходили?

[gris]

То есть, надо доказать, что произведение чисел, которые не делятся на 11, не делится на 11?
Попробуйте воспользоваться однозначностью разложения числа на простые сомножители. Ну и простотой числа 11.

[Stensen]

gris в сообщении #1244340 писал(а):

То есть, надо доказать, что произведение чисел, которые не делятся на 11, не делится на 11?
Попробуйте воспользоваться однозначностью разложения числа на простые сомножители. Ну и простотой числа 11.

Похоже понял. Т.к. $ \overline{ab} , \, \overline{cd}$ не делятся на $11$, т.е в их каноническом разложении нет $11$, то и в их произведении также $11$ не будет, т.к. $11$ - простое, а каноническое разложение единственно. Верно?

[yk2ru]

Stensen в сообщении #1244328 писал(а):

$ \overline{ab}\cdot \overline{cd} = (10a+b)(10c+d)=100ac+10(ad+bc)+bd$, то про сумму ничего сказать нельзя, хотя очевидно первое и третье слагаемые на $11$ не делятся, т.к. $bd,ac \ne \left\lbrace 0,11,22,33,44,55,66,77,88,99 \right\rbrace$.

Например $10=(10+1)-1$

[gris]

Stensen, ну да, по-школьному этого достаточно. Можно немножко построже и поподробнее. Или действительно через признак делимости. Если Вы, по своему обыкновению, не затеяли какую-то мощную атаку на Основы

[Stensen]

Всем спасибо, пока понятно.

gris в сообщении #1244373 писал(а):

Если Вы, по своему обыкновению, не затеяли какую-то мощную атаку на Основы

Да нет, пока разбираюсь в указаниях к задачам, данных их авторами, все они не подробны, поэтому возникают вопросы.

gris в сообщении #1244373 писал(а):

Stensen, ну да, по-школьному этого достаточно. Можно немножко построже и поподробнее. Или действительно через признак делимости.

По признаку делимости Вы имеете в виду, что число, делящееся на $11$, должно иметь вид: $ \overline{aa}$ (разность сумм цифр, стоящих на четных и нечетных местах)?

[tolstopuz]

Stensen в сообщении #1244328 писал(а):

$ \overline{ab}\cdot \overline{cd} = (10a+b)(10c+d)=100ac+10(ad+bc)+bd$

$=99ac+11(ad+bc)+(a-b)(c-d)$. Первые два слагаемых делятся на $11$, а последнее не равно $0$ (так как $a\ne b$, $c\ne d$) и не делится на $11$, потому что каждая из двух скобок - целое число от $-9$ до $9$ и их произведение (точнее, его модуль) должно быть в таблице умножения на обложке тетради, а в ней нет чисел $11,\dotsc,99$.

[Stensen]

Спасибо, все понятно