Как найти угол внутри четырёхугольника

[Andrey_Kireew]

Пожалуйста помогите решить задачу. Есть четырёхугольник, пересечённый двумя диагоналями:


исвестны углы $ ABD, BDA, DAB, DBC, BCD, CDB $
требуется найти угол $ ACB $

Подскажите хотябы путь решения. Сколько уравнения я не составлял - в итого всё сокращается

[mihailm]

Как нибудь так. $BD$ за единицу, потом по т. синусов находим стороны, потом проекции $A$ и $C$ на $BD$ и т.д.

[provincialka]

Andrey_Kireew, а вы как решали -- только через углы? Это не получится: жесткость конструкции придает то, что треугольники $ABD, BCD$ имеют общую сторону. Так что надо как-то использовать длины сторон: например так, как предложил mihailm.

[Andrey_Kireew]

Да, я хочу только через углы. Там же однозначно всё определяется углами, на сколько я понимаю конечно. Можно конечно ввести фиктивный размер стороны, но мне кажется, что как то изящнее всё можно сделать.

[provincialka]

Andrey_Kireew в сообщении #1240143 писал(а):

Там же однозначно всё определяется углами

И да, и нет. Углы задают обе "половинки" $ABD, BCD$ с точностью до подобия. Чтобы зафиксировать положение второй диагонали, нужно правильно подобрать их размеры (согласованно). Так что одними углами не обойдётесь! То есть в ответе будет не столько сами углы, сколько тригонометрические функции от них.

[Andrey_Kireew]

provincialka в сообщении #1240147 писал(а):

И да, и нет. Углы задают обе "половинки" $ABD, BCD$ То есть в ответе будет не столько сами углы, сколько тригонометрические функции от них.

С этим я и не спорил. Главное, что сторон в ответе быть не должно.

[provincialka]

Ну, а тогда чем плох способ mihailm?

[Andrey_Kireew]

Да не плох он, просто я ещё не просчитал всё, и пока не уверен, что получится. Как проверю - отпишусь.

[Andrey_Kireew]

Да, если по т. синусов составить уравнения
$\left\{ \begin{array}{rcl} &\frac{BA}{sin\alpha}=\frac{CA}{sin(CBD+DBA)}&\\ &\frac{AD}{sin(BCD-\alpha})=\frac{CA}{sin(CDA+BDA)}&\\ &\frac{BA}{sinBDA}=\frac{AD}{sinABD}&\\ \end{array} \left. $

то в итоге они сводятся к следующему
$cos\alpha=cosBCD+\frac{sin(CDB+BDA)sinABD}{sin(CBD+ABD)sin(BDA)}$

В общем, если даже всё и правильно, то формула очень громоздкая получается.
Наверное намного проще будет считать этот угол через координаты точек А, С, В.

[provincialka]

Andrey_Kireew Ну, этого следовало ожидать (сложности ответа). Кстати, перед обозначениями синуса и косинуса ставьте бакслеш: сравните $sin, cos, \sin, \cos$.

[Munin]

Andrey_Kireew
Зато такая формула наверняка очень красиво обобщается на сферическую и гиперболическую геометрии.

[svv]

Andrey_Kireew в сообщении #1240255 писал(а):

$\cos\alpha=\cos BCD+\frac{\sin(CDB+BDA)\sin ABD}{\sin(CBD+ABD)\sin BDA}$

Давайте проверим эту формулу для случая, когда четырёхугольник — квадрат. Углы, стоящие в числителе, симметричны углам, стоящим в знаменателе, поэтому дробь равна $1$. Угол $BCD$ прямой, его косинус равен $0$. Получаем $\cos\alpha=1$, откуда $\alpha=0$.

[Andrey_Kireew]

Большое спасибо за замечание, действительно - было 2 ошибки. Первая во втором уравнении системы, там в правой части, в знаменателе, вместо $CDA$ должно быть $CDB$. Дальше потерял один синус в процессе преобразований, так как считал вручную - на листочке.
Правильный ответ:
$\ctg(\alpha)={\ctg(BCD)}+{\frac{\sin(ABD)}{\sin(BCD)\sin(BDA)}} {\frac{\sin(CDB+BDA)}{\sin(CBD+DBA)}}$.

Теперь на Ваше примере svv получается $45^o$, как и должно быть.
Только радости от этого не прибавляется - вместо 4 синусов, косинуса и арккосинуса, теперь нужно считать 5 синусов, котангенс и арккотангенс. Хотя надо попробовать её немного упростить, может что и получится ...

[svv]

Да, теперь правильно.

[provincialka]

Andrey_Kireew
Чтобы было поменьше ошибок, может, стоит давать углам краткие названия, вроде $\alpha, \beta...$ или $\angle 1,\angle 2...$ и т.п.?