Что такое непересекающиеся цилиндрические множества?

[realeugene]

А. А. Боровков, "Теория Вероятностей", М., Книжный дом "ЛИБРОКОМ", 2017 - 656 с.
Теорема Колмогорова о согласованных распределениях - Приложение 2 (стр. 562, самый верх).

Цитата:

пусть $B_1\times\Bbb{R}^{T-N_1}$ и $B_2\times\Bbb{R}^{T-N_2}$ - два непересекающихся цилиндрических множества.

Но ведь по построению и определению цилиндрических множеств, $B_1\subset\Bbb{R}^{N_1}$ и $B_2\subset\Bbb{R}^{N_2}$, и, поэтому, (учитывая $N=N_1+N_2$)

$$\left(B_1\times\Bbb{R}^{T-N_1}\right)\cap\left( B_2\times\Bbb{R}^{T-N_2}\right)=\left(B_1\times\Bbb{R}^{N_2}\times\Bbb{R}^{T-N}\right)\cap\left(\Bbb{R}^{N_1}\times B_2\times\Bbb{R}^{T-N}\right)=B_1\times B_2\times\Bbb{R}^{T-N}\neq\emptyset$$

Так в каком же смысле эти множества не пересекаются?

[mihaild]

Декартово произведение некоммутативно.

[realeugene]

mihaild в сообщении #1238177 писал(а):

Декартово произведение некоммутативно.

В авторских обозначениях $N_1$ и $N_2$ - это конечные множества индексов, подмножества универсального множества индексов $T$. Упорядоченность пространств в произведении подразумевается, как я понимаю. $R_1$ и $R_2$ - элементы борелевских $\sigma$-алгебр соответствующих пространств.

Кстати, на стр. 561 там очевидная опечатка при определении $\Bbb{R}^T$.

[demolishka]

Пусть $T=2$ и $N_1=N_2 = 1$. Как выглядят соответствующие цилиндрические множества для $B_{1} = \{1\}, B_{2}=\{2\}$?

[realeugene]

demolishka в сообщении #1238181 писал(а):

Пусть $T=2$ и $N_1=N_2 = 1$.

Невозможно. Это множества индексов, а не числа.

[demolishka]

Хорошо, побудем формалистами. Пусть $T=\{1,2\}$, т.е. имеем $\mathbb{R}^T = \mathbb{R}_{1} \times \mathbb{R}_{2}$. $N_1 = \{1\}$, $N_{2}=\{1\}$. Пусть $B_1 = \{ 1 \} \subset \mathbb{R}_{2}$ и $B_2 = \{ 2 \} \subset \mathbb{R}_{2}$. Как выглядят цилиндрические множества?

[realeugene]

demolishka в сообщении #1238184 писал(а):

$N_1 = \{1\}$, $N_{2}=\{1\}$.

Да уж, пожалуйста, будьте тут формалистами. Но боюсь, множества индексов $N_1$ и $N_2$ сами не должны пересекаться, по логике теоремы, так что, $N_2=\left\{2\right\}$. При этих условиях цилиндрические множества будут $\left\{1\right\}\times\Bbb{R}_2$ и $$\Bbb{R}_1\times\left\{2\right\}$. Их пересечение есть $\left\{1\right\}\times\left\{2\right\}$.

Впрочем, что $N_1$ и $N_2$ не пересекаются нигде не оговорено. Если они пересекаются, то исходно обсуждаемые множества могут не пересекаться. Спасибо.

[demolishka]

realeugene, во-первых, в моей версии книжки (2-е издание 1986) ничего про непересечение $N_1$ и $N_2$ не сказано. Во-вторых, там ясно сказано, что мера на $\mathbb{R}^T$ задается на цилиндрических множествах. Также при проверке аддитивности стоит фраза

Цитата:

Действительно, пусть $B_1 \times \mathbb{R}^{T - N_{1}}$ и $B_2 \times \mathbb{R}^{T - N_{2}}$ - два непересекающихся цилиндрических множества.

Поэтому берутся просто два непересекающихся цилиндрических множества.

В случае, когда $N_1 \cap N_2 = \emptyset$, действительно получается, что соответствующие цилиндрические множества пересекаются.

[realeugene]

Да, спасибо. Вопрос закрыт.
Чтобы цилиндрические множества могли не пересекаться, должны пересекаться множества индексов их пространств оснований.