Смысл интеграла векторнозначной функции

[cabadath]

При переходе от скалярных функций к векторным, непрерывность и дифференцируемость определяют, как правило, через норму. И хотя почти сразу же доказывается, что это определение эквивалентно покомпонентной непрерывности/дифференцируемости, тем не менее, начинают все же с общих соображений.

Однако, в отличии от этого случая, интегрирование векторнозначной функции вводят непосредственно, через компоненты. Почему так? У него вообще есть какой-то очевидный геометрический или еще какой-то смысл, кроме того что это операция, обратная к дифференцированию?

[Dan B-Yallay]

cabadath в сообщении #1237893 писал(а):

У него вообще есть какой-то очевидный геометрический или еще какой-то смысл, кроме того что это операция, обратная к дифференцированию?

Суммирование некоторого множества векторов?

[cabadath]

Dan B-Yallay в сообщении #1237897 писал(а):

Суммирование некоторого множества векторов?

Ну это ничего особо не разъясняет.
Когда вводят производную, то объясняют это касательной, или линейным приближением.
Когда вводят интеграл Римана, то объясняют это "площадью под графиком", а иначе можно было бы никаких интегралов Римана не вводить, а просто определить их через первообразную.
Когда вводят вариацию, то объясняют это "длиной кривой".
А когда вводят интеграл векторнозначной функции, то ничего не объясняют.
Пожалуй, если задуматься, то можно объяснить его физический смысл, если у нас есть вектор скорости в каждый момент, то это способ найти суммарный путь.
А каких-то других соображений, более приближенных, скажем, к геометрии, нету?

[arseniiv]

Ну так предел некоторых сумм аналогично интегралу Римана чем плох?

cabadath в сообщении #1237899 писал(а):

Когда вводят вариацию, то объясняют это "длиной кривой".

По-моему, длина кривой — это как раз кое-какой интеграл, вариация немного не из той оперы.

[svv]

cabadath в сообщении #1237899 писал(а):

если у нас есть вектор скорости в каждый момент, то это способ найти суммарный путь

Вектор перемещения.
Например, если скорость точки на плоскости $\mathbf v(t)=(\cos t, \sin t)$, то за время $2\pi$ перемещение будет нулевым вектором, а путь будет $2\pi$.

[Pphantom]

cabadath в сообщении #1237899 писал(а):

Когда вводят интеграл Римана, то объясняют это "площадью под графиком", а иначе можно было бы никаких интегралов Римана не вводить,

Именно объясняют, а не определяют, это несколько разные вещи. Формальные же определения интеграла Римана очевидным образом обобщаются на векторнозначные функции.

cabadath в сообщении #1237899 писал(а):

а просто определить их через первообразную.

Это вообще-то интеграл Ньютона-Лейбница, его связь с интегралом Римана еще доказывать надо.

[cabadath]

Pphantom в сообщении #1237976 писал(а):

Именно объясняют, а не определяют, это несколько разные вещи. Формальные же определения интеграла Римана очевидным образом обобщаются на векторнозначные функции.

Если не объяснять, то вообще неясно, зачем мы вводим какое-то сложное понятие на ровном месте.

Более того, обычно, прежде чем определять интеграл Римана, предъявляют набор логичных требований к нему, и потом, на основании этих требований постепенно выстраивают определение. Точно так же с производной, особенно в векторном случае, и с вариацией.

А тут же такое чувство, что само по себе это понятие вообще никому не нужно, а вводят его (у Рудина, к примеру) только для того, чтобы удобно было формулу Лагранжа доказывать.

[Pphantom]

cabadath в сообщении #1237981 писал(а):

А тут же такое чувство, что само по себе это понятие вообще никому не нужно, а вводят его (у Рудина, к примеру) только для того, чтобы удобно было формулу Лагранжа доказывать.

Ну вообще-то для "математического" учебника матанализа это впечатление достаточно близко к действительности.