Предел с суммами квадратов

[Tiberium]

$\lim\limits_{n\to \infty}{\frac{1^2+3^2+5^2+...(2n-1)^2}{2^2+4^2+6^2+...(2n)^2}$

$1^2+3^2+5^2+...(2n-1)^2 = \frac{n(4n^2-1)}{3}$

$1^2+2^2+3^2+...n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$


Сумму $n$ первых квадратов четных чисел получим, вычтя первую сумму из второй (где вместо $n$ подставим $2n$):

$2^2+4^2+...(2n)^2 = \frac{n(2n+1)(2n+2)}{3}$

Вопрос в следующем: эти формулы подразумеваются известными? Или их нужно предварительно вывести?

[svv]

Можно подразумевать известной формулу для суммы квадратов.
Сумма квадратов чётных чисел сводится к предыдущей, если из всех чётных чисел вынести множитель $2$.
Сумма квадратов нечётных чисел получается вычитанием двух предыдущих формул. Т.е. идея правильная, но направление эволюции обратное.

[mihailm]

Лучше наверно вычесть и прибавить из числителя знаменатель.

[TOTAL]

Вот как можно без суммы квадратов

$$\lim\limits_{n\to \infty}{\frac{1^2+3^2+5^2+...(2n-1)^2}{2^2+4^2+6^2+...(2n)^2}= \lim\limits_{n\to \infty}{\frac{1^2+3^2+5^2+...(2n+1)^2}{2^2+4^2+6^2+...(2n)^2}$$

[ewert]

TOTAL в сообщении #1237300 писал(а):

Вот как можно без суммы квадратов

$$\lim\limits_{n\to \infty}{\frac{1^2+3^2+5^2+...(2n-1)^2}{2^2+4^2+6^2+...(2n)^2}= \lim\limits_{n\to \infty}{\frac{1^2+3^2+5^2+...(2n+1)^2}{2^2+4^2+6^2+...(2n)^2}$$

Строго говоря, это ничего не доказывает. Т.е. доказывает, что предел равен единице, но лишь в предположении, что этот предел существует. Рекомендация mihailm выгоднее.

Да, а явные формулы для сумм -- здесь, конечно, неприличны.

[Sonic86]

Теорема Штольца (дискретный аналог Лопиталя) избавит Вас от необходимости это суммировать.
Или в общем случае $P(k)=ak^m+...\Rightarrow\sum\limits_{k=1}^n P(k) \sim \sum\limits_{k=1}^n ak^m\sim a\int\limits_{1}^{n}x^m dx \sim a\frac{n^{m+1}}{m+1}$, что задачу в общем случае делает очень простой