Интеграл от функции комплексного переменного

[yukibob]

Вычислить интеграл:

$$\oint \limits_{\left\lvert {z} \right\rvert =1}^{}\frac{\tg {z}}{z}$$

Изолированные особые точки – это $0$ и $\infty$. Используя теорему о полной сумме вычетов, поулчается следующее:

$$\oint \limits_{\left\lvert {z} \right\rvert =1}^{}\frac{\tg {z}}{z}=-2\pi i \mathop\mathrm{res}\limits_{\infty} f(z)=\lim\limits_{z\to \infty}^{} (f(\infty)-f(z))z=0$$

Верны ли мои рассуждения? Можно ли использовать интегральную формулу Коши в данном примере?

[Xaositect]

Здесь куча особых точек, и $\infty$ не изолированная.

[yukibob]

Xaositect в сообщении #1234813 писал(а):

Здесь куча особых точек, и $\infty$ не изолированная.

Да, забыл: это все точки вида

$$z_{n}=\frac{\pi}{2}+\pi n, n\in \mathbb{Z}$$

Бесконечность не является изолированной, потому что

$$\lim\limits_{n \to \infty}^{} z_{n}=\infty$$

И нуль, конечно же.

[Someone]

yukibob в сообщении #1234810 писал(а):

$$\oint \limits_{\left\lvert {z} \right\rvert =1}^{}\frac{\tg {z}}{z}$$

$dz$ в интеграле потерян.

yukibob в сообщении #1234817 писал(а):

И нуль, конечно же.

Ну так посчитайте вычет в нуле.
Хотя что там считать…

[yukibob]

Someone в сообщении #1234836 писал(а):

yukibob в сообщении #1234810 писал(а):

$$\oint \limits_{\left\lvert {z} \right\rvert =1}^{}\frac{\tg {z}}{z}$$

$dz$ в интеграле потерян.

yukibob в сообщении #1234817 писал(а):

И нуль, конечно же.

Ну так посчитайте вычет в нуле.
Хотя что там считать…

Спасибо за поправку.

$0$ – устранимая точка, поэтому вычет в ней будет равен нулю. Нельзя было бы применить интегральную формулу Коши, ведь тангенс будет аналитической функцией в данном круге?

[Someone]

Если условия теоремы выполняются, то почему нет?