Сумма обратных корней целых между квадратами

[kthxbye]

Почему сумма обратных корней целых между двумя ближайшими квадратами целых ($\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{6}}+\frac{1}{\sqrt{7}}+\frac{1}{\sqrt{8}}, \frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+...+\frac{1}{\sqrt{(n+1)^2-1}}$) при $n\to\infty$ стремится к двум?

[gris]

Границу интервала можно без опаски включить в суммирование. Нарисуйте кривульку $y=1/\sqrt x$ и отметьте на графике нужные суммы. Похоже, что для других степеней нет аналогичного конечного ненулевого предела. Но вот почему? Самому интересно. Вроде бы потому, что два минус один равно одному

[Sonic86]

А интеграл $\int\frac{dx}{\sqrt{x}}$ найти можете?

[Shadow]

Зачем интеграл? Достаточно количество слагаемых и очень грубая оценка.

[Sonic86]

(Оффтоп)

Shadow в сообщении #1233677 писал(а):

Зачем интеграл? Достаточно количество слагаемых и очень грубая оценка.

Если надо переменную x на 4, то достаточно написать

x++;
x++;
x++;
x++;

, но почему-то предпочитают писать x+=4;. Интересно почему? Очевидно, из общих концептуальных соображений.
Тем более, что ТС не привел попыток решения, а задача более чем тривиальна. Зачем ему так сильно подсказывать?