Постоянство суммы квадратов расстояний

[stedent076]

Через центр правильного треугольника проведена в плоскости этого треугольника произвольная прямая. Доказать, что сумма квадратов расстояний от вершин тр-ка до этой прямой не зависит от выбора прямой.
Я решил аналитически, вводя систему координат и используя формулу расстояния между точкой и прямой. Подскажите, пожалуйста, как можно решить геометрически? Я додумался только до рассмотрения подобных треугольников, получающихся при проведении перпендикуляров к прямой из вершин.

[gris]

Кстати, если бы Вам пришла охота дело покончить как-нибудь иначе, фантастическим каким способом, то я бы предложил посадить треугольник центром на начало координат, покрутить, и посмотреть на сумму квадратов ординат вершин, например. Там хорошо сгодится полярная система. Комплексификация тоже интересна. Корни из единицы там. Может быть и обобщения какие увидите. Или геометрическое решение. Ведь если много величин равны, то они равны чему-то одному.

[Sender]

Да, только что пришла в голову такая же идея. Задача сводится к доказательству независимости от $\alpha$ выражения $\sin^2 (-\alpha)+\sin^2(\frac{2\pi}{3}-\alpha)+\sin^2(\frac{4\pi}{3}-\alpha).$
(В первом слагаемом оставил минус для наглядности)

[12d3]

Тут есть гораздо более примечательный момент, на мой взгляд. Если взять произвольный конечный набор $\{A_i\}$ точек, взять еще одну точку $B$, рассмотреть все прямые, проходящие через $B$, для каждой такой прямой $l$ посчитать сумму расстояний $S(l)$ от заданных $A_i$ до нее, а потом жирненько отметить на этой прямой красной ручкой две точки на расстоянии $\sqrt{\frac{1}{S(l)}}$ от $B$, то у нас красным цветом нарисуется эллипс. Всегда эллипс. В трехмерии будет трехосный эллипсоид. Если во все точки поместить одинаковые массы, то такой эллипсоид в физике обзывают эллипсоидом инерции.
Применительно к нашему треугольнику, имеется симметрия третьего порядка, а значит, у эллипса тоже симметрия третьего порядка, т.е. он окружность. А значит, в какую сторону ни глянь, сумма расстояний будет неизменна.

[sergei1961]

Комплексные числа?

[svv]

gris сказал.

[wrest]

Sender в сообщении #1232599 писал(а):

Задача сводится к доказательству независимости от $\alpha$ выражения $\sin^2 (-\alpha)+\sin^2(\frac{2\pi}{3}-\alpha)+\sin^2(\frac{4\pi}{3}-\alpha).$

Да, и не только синусов. Cумма квадратов косинусов этих же углов тоже не зависит от $\alpha$ (и равна сумме квадратов синусов)

[stedent076]

Sender

Альфа – угол поворота треугольника. Решил Вашим способом (выразил расстояния через углы)
gris
Спасибо большое). Есть что почитать по таким фантастичным решениям геометрических задач?

12d3 в сообщении #1232604 писал(а):

то у нас красным цветом нарисуется эллипс. Всегда эллипс.

Можете доказать?

[ewert]

12d3 в сообщении #1232604 писал(а):

сумму расстояний $S(l)$

Имелась в виду сумма квадратов, естественно.

stedent076 в сообщении #1232775 писал(а):

Можете доказать?

Погуглите на "метод главных компонент", или PCA. Это самое оно и есть.

Смысл. Если пытаться минимизировать сумму квадратов расстояний от некоторого набора точек до прямой, то, во-первых, эта прямая должна проходить через центр масс. А во-вторых, потом эта сумма квадратов представляется как квадратичная форма некоторой двумерной матрицы (если не на плоскости -- то матрицы соответствующей размерности). Отсюда и эллипс/эллипсоид. Полуосям которого отвечают собственные числа той матрицы.

В случае треугольника (и любого правильного многоугольника) из соображений симметрии сразу следует, что полуоси одинаковы. Т.е. это будет круг, т.е. сумма квадратов от направления прямой не зависит.

Но для правильных это, конечно, из пушки по воробьям.

[Levon]

Уважаемый stedent076

Геометрическое решение задачи представлено ниже:



Из рисунка легко вычисляется, в частности используя подобие треугольников,что сумма квадратов расстояний от вершин тр-ка до этой прямой не зависит от выбора прямой и равна половине квадрата стороны правильного треугольника.

Если понадобится более детальное объяснение, то пожалуйста (после рабочего дня).