Привести пример последовательности

[Charlz_Klug]

Задача:
Привести пример последовательности $\{x_n\}$, удовлетворяющей условию: $\exists N_1 \forall n \ge N_1: x_{N_1}>x_n$ и $\exists N_2 \forall n \ge N_2: x_{N_2}<x_n$.

По-моему, тут нестыковка: если взять $n=N_1$, то по условию $x_{N_1}>x_n$ получаем условие $x_{N_1}>x_{N_1}$, а такого числа невозможно найти. Ваше мнение?

[Anton_Peplov]

Charlz_Klug в сообщении #1232380 писал(а):

$\exists N_1 \forall n \ge N_1: x_{N_1}>x_n$

Да, здесь либо первое неравенство должно быть строгим, либо второе нестрогим. Иначе

Charlz_Klug в сообщении #1232380 писал(а):

если взять $n=N_1$, то по условию $x_{N_1}>x_n$ получаем условие $x_{N_1}>x_{N_1}$, а такого числа невозможно найти

[Charlz_Klug]

Anton_Peplov в сообщении #1232381 писал(а):

Да, здесь либо первое неравенство должно быть строгим, либо второе нестрогим.

Если записать условие так: $\exists N_1 \forall n > N_1: x_{N_1}>x_n$ и $\exists N_2 \forall n > N_2: x_{N_2}<x_n$. То этому условию удовлетворяет последовательность $\{\frac{1}{2}^{1-\frac{1}{n}}\}$. Верно?

[ewert]

Лучше проще: $x_0=0$ и все остальные $x_n=\frac1n$.

[svv]

$-1,1,0,0,0...$

[Charlz_Klug]

Charlz_Klug в сообщении #1232514 писал(а):

Если записать условие так: $\exists N_1 \forall n > N_1: x_{N_1}>x_n$ и $\exists N_2 \forall n > N_2: x_{N_2}<x_n$. То этому условию удовлетворяет последовательность $\{\frac{1}{2}^{1-\frac{1}{n}}\}$. Верно?

Сам себе отвечу: нет, не верно. Последовательность $\{\frac{1}{2}^{1-\frac{1}{n}}\}$ не удовлетворяет условию $x_{N_2}<x_n$ поскольку последовательность стремится к $\frac{1}{2}$ сверху-вниз. Следовательно, каждое следующее значение последовательности меньше предыдущих.

ewert в сообщении #1232612 писал(а):

Лучше проще: $x_0=0$ и все остальные $x_n=\frac1n$.

По той же причине непригодна последовательность $x_n=\frac1n$.

[svv]

Если что, ewert и не предлагал просто $x_n=\frac 1 n$. Сначала идёт $x_0=0$, а все последующие его больше.

[Charlz_Klug]

svv в сообщении #1232631 писал(а):

$-1,1,0,0,0...$

А вот эта последовательность подходит, спасибо. Только хотелось бы последовательность выраженную в виде формулы. Придумал вот такую: $x_n=(\frac{1}{2}-\frac{1}{3n})^{1 \mod n}$, здесь $1 \mod n$ $\text{---}$ это остаток от деления $1$ на $n$.

-- 10.07.2017, 19:29 --

svv в сообщении #1232640 писал(а):

Если что, ewert и не предлагал просто $x_n=\frac 1 n$. Сначала идёт $x_0=0$, а все последующие его больше.

А, точно! Прошу прощения. Поспешил.

[Anton_Peplov]

Charlz_Klug в сообщении #1232641 писал(а):

Только хотелось бы последовательность выраженную в виде формулы.

Хотеть, конечно, можно чего угодно. Только не надо думать, что последовательности, "не выраженные в виде формулы", чем-то хуже. Представление, что "настоящая математика только с формулами" - вредный побочный эффект школьного курса. Вам еще придется столкнуться со многими объектами, которые много проще описать словами, чем "формулами" в их школьном смысле. Первый пример - функция Дирихле.

[Charlz_Klug]

Anton_Peplov в сообщении #1232646 писал(а):

Вам еще придется столкнуться со многими объектами, которые много проще описать словами, чем "формулами" в их школьном смысле.

Это я понимаю, спасибо. Просто в этот раз хотелось формул.

[mihaild]

А если формулой - то нужно указать, какие средства разрешены. Последовательность svv, например, задается формулой $\frac{2\sin\left(\frac{2\pi n!}{3}\right)}{\sqrt{3}}$. Ну или еще кучей способов, если можно как-то получить индикатор нуля, например. Но зачем?

[ewert]

(Оффтоп)

Charlz_Klug в сообщении #1232659 писал(а):

Просто в этот раз хотелось формул.

Не хотитесь. Формулы без необходимости -- вредны.

Т.е. в вычислительных вопросах они, конечно, необходимы. Но вот в теоретических казусах -- вредны по преимуществу.

[Dan B-Yallay]

В общем случае можно взять 2 последовательности: одна монотонно сходящаяся сверху к какому-либо числу $a$, а вторая -- монотонно сходящаяся снизу к числу $b \leqslant a $. Затем создать третью последовательность просто чередуя элементы из первых двух.

[Charlz_Klug]

Спасибо за советы!