Аналитическая функция со спец. поведением в полуплоскости.

[sup]

В соседней теме про струну (ПРР) возникла любопытная задачка. Не хитрая, но, как мне кажется, довольно типичная.
Пусть в полуплоскости $\operatorname{Re} z > 0$ имеется аналитическая функция $f(z)$. Причем, для любого $x > 0$ имеет место неравенство

$$ |f(z) e^{xz}| \leqslant A(x) (1 + |z|)^{B(x)}. $$

Проще говоря, для любого фиксированного $x > 0$, функция $f(z) e^{xz}$ может расти по $z$ не быстрее некоторой степени (зависит от $x$).
Докажите, что $f(z) \equiv 0$.

[DeBill]

sup
На мнимой оси функция растет не быстрее многочлена.
Поделив на подходящую степень $(1+z)^n$, сведем к случаю "функция ограничена на мнимой оси, и не боле $M$ там". По фрагментарному Линделёфу, левая часть везде не боле $M$, так что $\left\lvert f(z)\right\rvert \leqslant M\cdot e^{-x \operatorname{Re}z}$, для всех $x$ . Значить, она - нуль

[ex-math]

DeBill
Когда Вы делите на нужную степень, Вы фиксируете $x $, а потом оно почему-то любое. Или я что-то не так понял в Вашем рассуждении.

[DeBill]

ex-math в сообщении #1231652 писал(а):

Это как раз не так страшно: всегда можно сдвинуться чуть правее.

Ага, это я забыл добавить...

ex-math в сообщении #1231614 писал(а):

Когда Вы делите на нужную степень, Вы фиксируете $x $, а потом оно почему-то любое

Ну да, так и есть.
Сначала, при $x=1$, например, получим оценку на степень. Поделим, и получим ограниченность $f$ на мнимой оси (некой константой $M$). Но экспонента на мнимой оси по модулю равна 1, так что и функция $g = f(z) e^{xz}$ на мнимой оси ограничена той же константой, и при всех $x$. По теореме Фрагмена-Линделефа, либо $g$ везде ограничена той же константой, либо имеет порядок роста не менее 1. Но второе - запрещено....

[sup]

Уважаемые коллеги. Прошу прощения за "позднее включение", но раньше я ответить не мог (по некоторым техническим причинам).
Как я понял, задача уже решена (в точности по той схеме, что я и задумывал). Или же остались вопросы?

[sup]

Да, вроде, все там сделали.
План действий такой.
1. Вместо сдвига просто рассматриваем полуплоскость $S = \{\operatorname{Re} z \geqslant 1\}$.
2. Пусть $N > B(1)$. Положим $f_1(z) = f(z)e^z / (1+z)^N$. Тогда в полуплоскости $S$ функция ограничена некоторой константой $M$. И даже максимум модуля достигается на границе $\partial S = \{\operatorname{Re} z = 1\}$.
3. Для всякого $x > 1$ функция $f_1(z)e^{z(x-1)}$ в полуплоскости $S$ растет не быстрее полинома. В силу принципа Фрагмена-Линделефа максимум модуля внутри $S$ не больше, чем на границе $\partial S$. А на границе легко имеем оценку $Me^{x-1}$.
4. Тогда для $\operatorname{Re} z > 1$ имеем $|f_1(z)| \leqslant Me^{(1 - \operatorname{Re}z)(x - 1)}$. В силу произвольности $x$ для таких $z$ имеем $f_1(z) = 0$.

DeBill все что надо уже проделал.

[Deggial]

Ненужный оффтоп с просьбами разобраться отделён в отдельную тему.
Если я убрал что-то лишнее, просьба извинить и оставлять жалобы на этот пост.

[Padawan]

sup
Можно и не рассматривать полуплоскость $\operatorname{Re} z\geqslant 1$. Просто вместо значений на граничной прямой $\operatorname{Re} z=1$ говорить о верхнем пределе модуля функции на $\operatorname {Re} z=0$, как в теореме Фрагмена-Линделёфа и делается.

[sup]

Да, конечно. Просто я пытался уж совсем-совсем упростить ситуацию (чтобы избежать лишних вопросов), но, как Вы видели, безуспешно ...

(Оффтоп)

Я с самого начала отметил, что задача не хитрая. Для профессионалов так, на один зубок. Но, для тех, кто не привык размахивать такой дубиной как принцип Ф.-Л., могла бы показаться интересной.