Сила, действующая на вращающийся цилиндр

Astroid · 11/07/16 81

Собственно, заинтересовала следующая задача. Цилиндр размеров $h, R$ Вращается вокруг своей главной оси. Требуется найти суммарную центробежную(или центростремительную, в общем ту, которая его растягивает) силу, действующую на тело. Я поступил следующим образом. Сначала запишем силу, действующую на бескончно малый элемент объема:
$d\overrightarrow{F} =\frac{\rho dVv^2\overrightarrow{r}}{r^2}$
Подставляя элемент объема из цилиндрической СК и сокращая на $r$ получим: $d\overrightarrow{F} =\rho v^2drd\varphi dz\overrightarrow{e_r}$
В свою очередь $v^2 = (\overrightarrow{\omega} \times \overrightarrow{r})^2 = (\omega r)^2$ .
Затем интегрируем по всему цилиндру:
$\overrightarrow{F} = \overrightarrow{e_r} \int\limits_{0}^{h}\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{R}\rho \omega^2r^2drd\varphi dz = \frac{2}{3}\pi h\rho\omega^2R^3\overrightarrow{e_r}$
Если это решение правильное, то как быть если бы в аналогичной задаче мы вычисляли абстрактную силу, направление которой бы не совпадало ни с одной из осей а было бы, к примеру, таким $\overrightarrow{e_F} = \frac{\overrightarrow{e_r} + \overrightarrow{e_{\varphi}}}{\sqrt{2}}$ ? Можно ли и в таком случае просто вынести этот вектор за интеграл?

DimaM · 28/12/12 7990

Astroid в сообщении #1231151 писал(а):

Затем интегрируем по всему цилиндру:
$\overrightarrow{F} = \overrightarrow{e_r} \int\limits_{0}^{h}\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{R}\rho \omega^2r^2drd\varphi dz = \frac{2}{3}\pi h\rho\omega^2R^3\overrightarrow{e_r}$

Интересно, куда, по-вашему, эта сила направлена. То есть, если раскрутить цилиндр, он куда-то полетит с ускорением?

Astroid · 11/07/16 81

DimaM в сообщении #1231156 писал(а):

Astroid в сообщении #1231151 писал(а):

Затем интегрируем по всему цилиндру:
$\overrightarrow{F} = \overrightarrow{e_r} \int\limits_{0}^{h}\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{R}\rho \omega^2r^2drd\varphi dz = \frac{2}{3}\pi h\rho\omega^2R^3\overrightarrow{e_r}$

Интересно, куда, по-вашему, эта сила направлена. То есть, если раскрутить цилиндр, он куда-то полетит с ускорением?

Она направлена по радиальной оси цилиндрической СК, действует на все точки цилиндра. Поэтому лететь-то он не полетит, а растянуться должен, на мой взгляд.

Someone · 23/07/05 18035 Москва

Astroid в сообщении #1231159 писал(а):

Она направлена по радиальной оси цилиндрической СК

Интересно, и какое же из континуального множества совершенно равноправных радиальных направлений является "радиальной осью"?

Astroid в сообщении #1231159 писал(а):

лететь-то он не полетит

Судя по вашей формуле, очень даже полетит. В направлении вектора $\vec e_r$ .

wrest · 05/09/16 12385

Astroid в сообщении #1231151 писал(а):

Требуется найти суммарную центробежную(или центростремительную, в общем ту, которая его растягивает) силу, действующую на тело.

Допустим, у вас получится в ответе "10 ньютонов". Что это будет значить?

Может для начала, до интегралов, рассмотреть например гантель - две одинаковой массы точки соединенные невесомой перекладиной (или, если хотите чтобы растягивалось - то пружиной) и вращающиеся вокруг проходящей перпендикулярно перекладине через её центр оси?

svv · 23/07/08 10910 Crna Gora

Astroid в сообщении #1231151 писал(а):

Можно ли и в таком случае просто вынести этот вектор за интеграл?

Нет, потому что он зависит от точки и не является постоянным вектором.

Astroid · 11/07/16 81

Ну, в случае с гантелями, считая их точечными массами, на каждую массу будет приходиться сила $\frac{mv^2}{R}\overrightarrow{e_l}$ , где $\overrightarrow{e_l}$ - вектор направленный к массе от оси вращения. Моей же логикой "суммарная" сила будет неопределенной в том плане что у вектора не может быть два направления одновременнно. Я, кажется, сообразил. Быть может, тогда будет иметь смысл хотя бы работа этой силы? К примеру, если она вызывает конкретное растяжение в радиальном направлении всего цилиндра?

DimaM · 28/12/12 7990