Сила, действующая на вращающийся цилиндр

[Astroid]

Собственно, заинтересовала следующая задача. Цилиндр размеров $h, R$ Вращается вокруг своей главной оси. Требуется найти суммарную центробежную(или центростремительную, в общем ту, которая его растягивает) силу, действующую на тело. Я поступил следующим образом. Сначала запишем силу, действующую на бескончно малый элемент объема:

$$d\overrightarrow{F} =\frac{\rho dVv^2\overrightarrow{r}}{r^2}$$

Подставляя элемент объема из цилиндрической СК и сокращая на $r$ получим:

$$d\overrightarrow{F} =\rho v^2drd\varphi dz\overrightarrow{e_r}$$

В свою очередь $v^2 = (\overrightarrow{\omega} \times \overrightarrow{r})^2 = (\omega r)^2$.
Затем интегрируем по всему цилиндру:

$$\overrightarrow{F} = \overrightarrow{e_r} \int\limits_{0}^{h}\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{R}\rho \omega^2r^2drd\varphi dz = \frac{2}{3}\pi h\rho\omega^2R^3\overrightarrow{e_r}$$

Если это решение правильное, то как быть если бы в аналогичной задаче мы вычисляли абстрактную силу, направление которой бы не совпадало ни с одной из осей а было бы, к примеру, таким $\overrightarrow{e_F} = \frac{\overrightarrow{e_r} + \overrightarrow{e_{\varphi}}}{\sqrt{2}}$? Можно ли и в таком случае просто вынести этот вектор за интеграл?

[DimaM]

Astroid в сообщении #1231151 писал(а):

Затем интегрируем по всему цилиндру:

$$\overrightarrow{F} = \overrightarrow{e_r} \int\limits_{0}^{h}\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{R}\rho \omega^2r^2drd\varphi dz = \frac{2}{3}\pi h\rho\omega^2R^3\overrightarrow{e_r}$$

Интересно, куда, по-вашему, эта сила направлена. То есть, если раскрутить цилиндр, он куда-то полетит с ускорением?

[Astroid]

DimaM в сообщении #1231156 писал(а):

Astroid в сообщении #1231151 писал(а):

Затем интегрируем по всему цилиндру:

$$\overrightarrow{F} = \overrightarrow{e_r} \int\limits_{0}^{h}\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{R}\rho \omega^2r^2drd\varphi dz = \frac{2}{3}\pi h\rho\omega^2R^3\overrightarrow{e_r}$$

Интересно, куда, по-вашему, эта сила направлена. То есть, если раскрутить цилиндр, он куда-то полетит с ускорением?

Она направлена по радиальной оси цилиндрической СК, действует на все точки цилиндра. Поэтому лететь-то он не полетит, а растянуться должен, на мой взгляд.

[Someone]

Astroid в сообщении #1231159 писал(а):

Она направлена по радиальной оси цилиндрической СК

Интересно, и какое же из континуального множества совершенно равноправных радиальных направлений является "радиальной осью"?

Astroid в сообщении #1231159 писал(а):

лететь-то он не полетит

Судя по вашей формуле, очень даже полетит. В направлении вектора $\vec e_r$.

[wrest]

Astroid в сообщении #1231151 писал(а):

Требуется найти суммарную центробежную(или центростремительную, в общем ту, которая его растягивает) силу, действующую на тело.

Допустим, у вас получится в ответе "10 ньютонов". Что это будет значить?

Может для начала, до интегралов, рассмотреть например гантель - две одинаковой массы точки соединенные невесомой перекладиной (или, если хотите чтобы растягивалось - то пружиной) и вращающиеся вокруг проходящей перпендикулярно перекладине через её центр оси?

[svv]

Astroid в сообщении #1231151 писал(а):

Можно ли и в таком случае просто вынести этот вектор за интеграл?

Нет, потому что он зависит от точки и не является постоянным вектором.

[Astroid]

Ну, в случае с гантелями, считая их точечными массами, на каждую массу будет приходиться сила $\frac{mv^2}{R}\overrightarrow{e_l}$, где $\overrightarrow{e_l}$ - вектор направленный к массе от оси вращения. Моей же логикой "суммарная" сила будет неопределенной в том плане что у вектора не может быть два направления одновременнно. Я, кажется, сообразил. Быть может, тогда будет иметь смысл хотя бы работа этой силы? К примеру, если она вызывает конкретное растяжение в радиальном направлении всего цилиндра?

[DimaM]

Astroid в сообщении #1231171 писал(а):

Быть может, тогда будет иметь смысл хотя бы работа этой силы? К примеру, если она вызывает конкретное растяжение в радиальном направлении всего цилиндра?

Под "растяжением" вы имеете в виду деформацию или напряжение?

[svv]

Astroid в сообщении #1231171 писал(а):

Моей же логикой "суммарная" сила будет неопределенной в том плане что у вектора не может быть два направления одновременно.

Под интегралом векторная функция. Интегрируя вклады всех частей тела, Вы не обязаны предпочитать вектор с одним направлением вектору с другим направлением — Вам надо их сложить. Но чему же равна равнодействующая центробежных сил?

[wrest]

Astroid в сообщении #1231171 писал(а):

Ну, в случае с гантелями, считая их точечными массами, на каждую массу будет приходиться сила $\frac{mv^2}{R}\overrightarrow{e_l}$, где $\overrightarrow{e_l}$ - вектор направленный к массе от оси вращения.

И сумма будет равна нулю, ведь эти ваши $\overrightarrow{e_l}$ будут направлены встречно. Это же еще Ньютон завещал, III-м законом.

Astroid в сообщении #1231171 писал(а):

Быть может, тогда будет иметь смысл хотя бы работа этой силы?

Ну рассмотрите гантель с пружинной перекладиной. Какая работа и какой силы?

[Astroid]

DimaM в сообщении #1231175 писал(а):

Astroid в сообщении #1231171 писал(а):

Быть может, тогда будет иметь смысл хотя бы работа этой силы? К примеру, если она вызывает конкретное растяжение в радиальном направлении всего цилиндра?

Под "растяжением" вы имеете в виду деформацию или напряжение?

Деформацию, разумеется.
Ага, ну если я сложу векторы по всем направлениям, вестимо, будет ноль. Это логично, да. Вот тут-то должно быть и закралась ошибка.
А дальше, если я буду вычислять работу, то нужно будет суммировать не силу, а работу элементарных сил по деформации бесконечно малых объемов. Таким образом должен получиться не ноль. Верно?
Соответственно для гантели: центробежные силы, действующие на массы, будут растягивать пружину, совершая работу. В сумме ноль, а работа есть. Не совсем интуитивно, но я понимаю.

[DimaM]

Astroid в сообщении #1231182 писал(а):

Соответственно для гантели: центробежные силы, действующие на массы, будут растягивать пружину, совершая работу. В сумме ноль, а работа есть. Не совсем интуитивно, но я понимаю.

А то, что центробежные силы будут только во вращающейся системе отсчета, понимаете?

[Astroid]

DimaM в сообщении #1231183 писал(а):

Astroid в сообщении #1231182 писал(а):

Соответственно для гантели: центробежные силы, действующие на массы, будут растягивать пружину, совершая работу. В сумме ноль, а работа есть. Не совсем интуитивно, но я понимаю.

А то, что центробежные силы будут только во вращающейся системе отсчета, понимаете?

Да-да, вспоминаю общую физику. Инерционные силы вроде они называются. Тогда еще один вопрос: как наблюдателю из покоящейся системы объяснить природу работы, которую совершают силы, которых для него нет?

[wrest]

Astroid в сообщении #1231182 писал(а):

В сумме ноль, а работа есть.

Например, лошадь тянет телегу в гору с постоянной скоростью. Как известно, сила с которой лошадь действует на телегу равна силе с которой телега действует на лошадь, то есть в сумме - ноль. :) А телега едет, работа совершается. Как вы объясните этот "парадокс"?

[warlock66613]

Astroid, а для неподвижного наблюдателя работа есть? Обоснуйте ответ.