(10^n)!-10^(n!)

[Ktina]

Как доказать, что выражение, указанное в заголовке, при достаточно больших натуральных $n$ принимает лишь отрицательные значения?

Понимаю, что нужно оценить скорость возрастания уменьшаемого и вычитаемого. Как это сделать? Не надо за меня решать, просто подскажите мне, как?
Заранее спасибо!

[mihaild]

Прологарифмируйте оба слагаемых по какому-нибудь удобному основанию.

[ASH]

Первый член растет как $n(e^n)$, а второй - как $10(e^n)$. Оценку легко сделать из того, что $n!$ растет как $e^{nlnn}$.

[Ktina]

mihaild
ASH
Большое спасибо!

[ewert]

Ktina в сообщении #1230175 писал(а):

Первый член растет как $n(e^n)$, а второй - как $10(e^n)$.

Логарифм первого -- как $n\,10^n\ln10$, логарифм второго -- это просто $n!\ln 10$.

[kotenok gav]

ewert в сообщении #1230210 писал(а):

Ktina в сообщении #1230175 писал(а):

Первый член растет как $n(e^n)$, а второй - как $10(e^n)$.

Это писала не Ktina а ASH.

[ewert]

kotenok gav в сообщении #1230220 писал(а):

Это писала не Ktina а ASH.

Это распространённая загадка. Обычно так бывает, если по рассеянности выделить не исходное сообщение, а цитату в ответе на него. Но в данном-то случае такого не могло случиться.

[mihaild]

mihaild в сообщении #1230082 писал(а):

Обычно так бывает, если по рассеянности выделить не исходное сообщение, а цитату в ответе на него.

Чтобы получить такой эффект, достаточно выделить текст в одном сообщении и нажать относящуюся к другому сообщению кнопку "цитировать".

[grizzly]

(Оффтоп)

mihaild в сообщении #1230229 писал(а):

Чтобы получить такой эффект, достаточно выделить текст в одном сообщении и нажать относящуюся к другому сообщению кнопку "цитировать".

Я много раз получал такой же эффект, не ошибаясь кнопкой цитирования.