Нормировка в определении вероятности?

[hedgehogues]

Привет. Возможно ли модифицировать определение вероятности следующим образом? Сохраняются ли все свойства?

Пусть есть мера $\mu$, заданная на множестве $\Omega$. Тогда вероятность события $X$ по определению:

$P(X) = \dfrac{\mu(X)}{\mu(\Omega)}$

Неотрицательность и конечность, очевидно, да. Волнует счётная аддитивность. Но, вроде бы, и она тоже выполняется.

[Brukvalub]

hedgehogues в сообщении #1229674 писал(а):

Волнует счётная аддитивность

Не нужно волноваться! Просто выучите, что такое мера, какие меры бывают, и все получится! Если мера-счетно-аддитивна, то и вероятность такая же.

[svv]

А если мера $\Omega$ будет нулевой или бесконечной?

[hedgehogues]

svv в сообщении #1229685 писал(а):

А если мера $\Omega$ будет нулевой или бесконечной?

Да, вероятно, я многое не сказал. Сейчас допишу.

Пусть есть мера $\mu$, заданная на сигма-алгебре $\sigma$ множества $\Omega$. Определим меру:

$\mu: \sigma \rightarrow \mathbb{R^{+}} \cup \{\infty\}$

(*) Тогда для любого $A \in \sigma \mu(A)$ его мера $\geq 0$
(*) Для любых попарно непересекающихся множеств мера счётно-аддитивна.

Так выглядит классическое определение.

Теперь, определим вероятность, полагаюя, что $\mu(\Omega) > 0$ как:

Тогда вероятность события $X \in \sigma$ по определению:

$P(X) = \dfrac{\mu(X)}{\mu(\Omega)}$

[ewert]

hedgehogues в сообщении #1229674 писал(а):

Возможно ли модифицировать определение вероятности следующим образом?

Возможно. Только зачем? Лишь для усложнения каких-то формул и добавления ненужных слов?

[svv]

hedgehogues
Вы потребовали $\mu(\Omega)\neq 0$. Но остаётся ещё случай $\mu(\Omega)=\infty$.

Случай $\mu(\Omega)=\infty$ довольно распространённый. Некоторые люди пытаются вычислять вероятности и в этом случае. Например:
«Автомат выдаёт случайным образом вещественное число $X$. Распределение $X$ на вещественной оси равномерное. Какова вероятность, что $|X|<1$?»
Вы должны положить конец таким попыткам.

[arseniiv]

Кажется, кто-то переизобретает ограничение вероятностного пространства $(\Omega,\mathcal F,\Prob)\mapsto(A,\mathcal F_A,\Prob_A)$, где $A\in\mathcal F$, $\Prob(A)\ne0$, $\mathcal F_A = \{ X\cap A : X\in\mathcal F \}$, $\Prob_A(X) = \Prob(X | A)\equiv\dfrac{\Prob(X\cap A)}{\Prob(A)}$.

[hedgehogues]

arseniiv в сообщении #1229889 писал(а):

Кажется, кто-то переизобретает ограничение вероятностного пространства $(\Omega,\mathcal F,\Prob)\mapsto(A,\mathcal F_A,\Prob_A)$, где $A\in\mathcal F$, $\Prob(A)\ne0$, $\mathcal F_A = \{ X\cap A : X\in\mathcal F \}$, $\Prob_A(X) = \Prob(X | A)\equiv\dfrac{\Prob(X\cap A)}{\Prob(A)}$.

Именно так. Я разбираюсь с условной вероятностью. Эти вещи возникают непроизвольно.

-- 27.06.2017, 17:19 --

svv в сообщении #1229793 писал(а):

hedgehogues
Вы потребовали $\mu(\Omega)\neq 0$. Но остаётся ещё случай $\mu(\Omega)=\infty$.

Случай $\mu(\Omega)=\infty$ довольно распространённый. Некоторые люди пытаются вычислять вероятности и в этом случае. Например:
«Автомат выдаёт случайным образом вещественное число $X$. Распределение $X$ на вещественной оси равномерное. Какова вероятность, что $|X|<1$?»
Вы должны положить конец таким попыткам.

В этом случае, вероятно, имеет смысл говорить о вероятности, лишь в том случае, когда можно параметризовать $\Omega$, после чего пытаться сравнивать порядок роста $\mu(\Omega)$ с другими значениями $\mu$ на подмножествах $\Omega$

[ewert]

hedgehogues в сообщении #1229983 писал(а):

Я разбираюсь с условной вероятностью.

Не надо с ней разбираться. Она определяется сугубо формально, исходя из эвристических соображений. И Ваши попытки ничего нового в эту эвристику не внесут. Ну разве что переметут мусор из одного угла в другой.

hedgehogues в сообщении #1229983 писал(а):

лишь в том случае, когда можно параметризовать $\Omega$,

Параметризация тут, естественно, не при чём -- параметризовать нечто абстрактное, имеющее бесконечную меру, со всех сторон бессмысленно.

[svv]

hedgehogues в сообщении #1229983 писал(а):

В этом случае, вероятно, имеет смысл говорить о вероятности, лишь в том случае, когда можно параметризовать $\Omega$, после чего пытаться сравнивать порядок роста $\mu(\Omega)$ с другими значениями $\mu$ на подмножествах $\Omega$

Пусть даже и так, но Ваша формула $P(X) = \dfrac{\mu(X)}{\mu(\Omega)}$ точно не предназначена для такой зубодробительной задачи. И эту её непредназначенность для случая $\mu(\Omega)=\infty$ надо бы оговорить, в свете того, что (как Вы сами указали) мера может быть бесконечной.

[hedgehogues]

ewert в сообщении #1229992 писал(а):

hedgehogues в сообщении #1229983 писал(а):

Я разбираюсь с условной вероятностью.

Не надо с ней разбираться. Она определяется сугубо формально, исходя из эвристических соображений. И Ваши попытки ничего нового в эту эвристику не внесут. Ну разве что переметут мусор из одного угла в другой.

hedgehogues в сообщении #1229983 писал(а):

лишь в том случае, когда можно параметризовать $\Omega$,

Параметризация тут, естественно, не при чём -- параметризовать нечто абстрактное, имеющее бесконечную меру, со всех сторон бессмысленно.

Если я не буду разбирасть, в таком случае, у меня не выработается привыкания к этому понятию. А оно может быть выработано наиболее просто путём связывания с уже имеющимися понятиями в моей голове. Если этого не сделать, я рискую наткнуться на серьёзные трудности в дальнейшем, когда столкнусь с задачами, которые радикальн отличаются от классических.

[arseniiv]

Ну вообще условная вероятность никакими особыми свойствами не обладает кроме тех, что (1) диктует её определение и (2) диктует доказательство того, что $(A,\mathcal F_A,\Prob_A)$ — тоже вероятностное пространство (т. е. обычных свойств вероятности типа $\Prob_C(A\cap B) + \Prob_C(A\cup B) = \Prob_C(A) + \Prob_C(B)$). Единственное, что вам стоит рассмотреть — это как раз доказательство (2). Оно проводится механически, но если уверенности нет, приобретите, проделав.