Распространение импульса по полубесконечной струне

[Astroid]

У меня проблема со следующей задачей:
Изучить распространение импульса по полубесконечной струне. Среда сопротивляется пропорционально отклонению.

Застопорился на изображениях, очень уж странная функция получилась. Мое решение:
Постановка задачи:

$$\frac{\partial^2{u}}{\partial{t^2}} = \frac{\partial^2{u}}{\partial{x^2}} - \alpha u$$

ГУ:

$$u(0,t) = 0$$

$$u'_x(0,t) = A\delta (t)$$

$$|u|<\infty$$

НУ считаем нулевыми.
После преобразования Лапласа получаем задачу относительно $\tilde{u}$:

$$\frac{\partial^2{\tilde{u}}}{\partial{x^2}} - \tilde{u}(\alpha - p^2) = 0$$

$$\tilde{u}'_x(0) = A$$

$$|\tilde{u}|<\infty$$

Общее решение с учетом ГУ у меня получилось в следующем виде:

$$\tilde{u}(x) = \frac{-A}{\sqrt{\alpha - p^2}}e^{-\sqrt{\alpha - p^2}x}$$

Если из первого множителя $\frac{-A}{\sqrt{\alpha - p^2}}$ еще можно худо-бедно вытащить функцию Бесселя нулевого порядка, то что делать с оставшейся экспонентой? И если это правильно, то как потом вычислять свертку функции Бесселя с чем-то еще? Закрадывается подозрение, что где-то у меня ошибка, быть может, кто-то может подсказать?
Есть еще мысль, что корень в знаменателе очень портит картину. Что делать, если кратность полюсов нецелая в том случае, если мы вычисляем интеграл через вычеты?

[amon]

А куда у Вас это

Astroid в сообщении #1227267 писал(а):

$$u(0,t) = 0$$

подевалось?

[Astroid]

amon в сообщении #1227298 писал(а):

А куда у Вас это

Astroid в сообщении #1227267 писал(а):

$$u(0,t) = 0$$

подевалось?

Да, действительно. Если это учесть, то тогда у меня не выходит удовлетворить

$$|\tilde{u}|<\infty$$

ибо общее решение в таком случае будет $\tilde{u} = \frac{-A}{2\sqrt{\alpha-p^2}}\sh{\sqrt{\alpha-p^2}x}$, то есть $\tilde{u}\to\infty$ при $x\to \infty$.

[DimaM]

Astroid в сообщении #1227303 писал(а):

ибо общее решение в таком случае будет $\tilde{u} = \frac{-A}{2\sqrt{\alpha-p^2}}\sh{\sqrt{\alpha-p^2}x}$, то есть $\tilde{u}\to\infty$ при $x\to \infty$

При $p^2>\alpha$ получится обычный синус, который ограничен на бесконечности.

[Astroid]

DimaM в сообщении #1227330 писал(а):

Astroid в сообщении #1227303 писал(а):

ибо общее решение в таком случае будет $\tilde{u} = \frac{-A}{2\sqrt{\alpha-p^2}}\sh{\sqrt{\alpha-p^2}x}$, то есть $\tilde{u}\to\infty$ при $x\to \infty$

При $p^2>\alpha$ получится обычный синус, который ограничен на бесконечности.

Понял о чем Вы. Значит, оставляем "шинус". А как быть с обратным преобразованием Лапласа? Я не уверен, можно ли вообще применять теорему о вычетах для такой функции. По ней получается, что особыми точками функции $\tilde{u}$ будут $p = \pm\sqrt{\alpha}$, но что это за точки будут? Кратные полюса? Очень смущает корень.

[DimaM]

Astroid в сообщении #1227343 писал(а):

особыми точками функции $\tilde{u}$ будут $p = \pm\sqrt{\alpha}$

В этих точках предел функции будет равен $x$, насколько я понимаю. И интеграл по большой окружности непонятно, будет ли к нулю стремиться, так что с вычетами все сомнительно выглядит.

[Astroid]

DimaM в сообщении #1227344 писал(а):

с вычетами все сомнительно выглядит.

А какими еще способами такие интегралы можно брать?

[Vince Diesel]

А продолжить решение нечетным образом на всю прямую и взять преобразование Фурье по $x$ не проще будет?

[amon]

Astroid в сообщении #1227267 писал(а):

После преобразования Лапласа получаем задачу относительно $\tilde{u}$:

$$\frac{\partial^2{\tilde{u}}}{\partial{x^2}} - \tilde{u}(\alpha - p^2) = 0$$

А там знак при $p^2$ не попутан и $u'_t(x,0)$ не потеряно? (Я преобразование Лапласа не люблю, и помню его смутно, поэтому оставляю за собой право соврать.)

[Astroid]

Vince Diesel в сообщении #1227462 писал(а):

А продолжить решение нечетным образом на всю прямую и взять преобразование Фурье по $x$ не проще будет?

Можете поподробнее описать то, что Вы предлагаете? Я не совсем понимаю.

amon в сообщении #1227496 писал(а):

Astroid в сообщении #1227267 писал(а):

После преобразования Лапласа получаем задачу относительно $\tilde{u}$:

$$\frac{\partial^2{\tilde{u}}}{\partial{x^2}} - \tilde{u}(\alpha - p^2) = 0$$

А там знак при $p^2$ не попутан и $u'_t(x,0)$ не потеряно? (Я преобразование Лапласа не люблю, и помню его смутно, поэтому оставляю за собой право соврать.)

Да тут мы два раза по частям берем интеграл $\int\limits_{0}^{\infty}\frac{\partial^2{u}}{\partial{t^2}}e^{-pt}dt$ и при первом интегрировании как раз получается член с $u'_t(x,0)$, но он по условию равен нулю. А знак действительно попутал, минус лишний.

[Vince Diesel]

Astroid в сообщении #1227802 писал(а):

Можете поподробнее описать то, что Вы предлагаете?

Ну, как сказано, взять нечетное продолжение решения и применить к нему преобразование Фурье по $x$. Попробовал сам, получается не проще. Условие для производной переходит в интегральное уравнение.

UPD. Исправил. Если $G(x,t)$ — фундаментальное решение уравнения то можно попробовать записать формулу Грина для решения $u(x,t)$. Раз там одна дельта функция, должно выражаться через ф.р. , возможно, просто какая-то производная от $G$. Остается вопрос, а это ф.р. выражается хотя бы в специальных функциях? Если да, то наверняка это где-то написано, больно уравнение простое.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: пока что это только матфизика.

[Astroid]

Vince Diesel в сообщении #1227816 писал(а):

Astroid в сообщении #1227802 писал(а):

Можете поподробнее описать то, что Вы предлагаете?

Ну, как сказано, взять нечетное продолжение решения и применить к нему преобразование Фурье по $x$. Попробовал сам, получается не проще.

Мне вот кажется, что это уже немного перебор для такой простой задачи. А продление решения для $x<0$ выглядит излишним, т.к. задача вполне физическая и в области x<0 у нас ничего нет.
Еще мне кажется, что если мы даже бы и получили решение таким методом, оно было бы в любом случае симметрично по $x$ и, следовательно, можно было бы его получить иным способом. Задача, к слову, сугубо на преобразование Лапласа.

[svv]

Мне кажется странным набор начальных и граничных условий. Вы можете привести пример функции, которая им всем удовлетворяет? (не обязательно, чтобы она удовлетворяла уравнению)

[Astroid]

svv в сообщении #1228559 писал(а):

Мне кажется странным набор начальных и граничных условий. Вы можете привести пример функции, которая им всем удовлетворяет? (не обязательно, чтобы она удовлетворяла уравнению)

Так вот сходу не могу. Но мне они кажутся вполне физическими. Первое — условие закрепления на конце. Второе — задание импульса на этом конце. Ну третье не совсем граничное условие, просто берем ограниченные решения, т.к. решения, в которых функция неограниченно возрастает с ростом $t$ или $x$ нас не интересуют. Нулевые НУ вроде не мешают.
UPD: понял. Рассматривал решения вида $u(x,t) = A\delta(t)\sin{x}$ и понял, что как раз нулевым НУ будет удовлетворить непросто. Но ведь ответ не обязательно должен быть в элементарных функциях. Я вот нашел в таблицах курса ТФКП Лавреньтева функцию, похожую на мою.
$\frac{e^{-\tau\sqrt{a^2+p^2}}}{\sqrt{a^2+p^2}}\leftrightarrow J_0(a\sqrt{t^2-\tau^2})\eta(t-\tau)$.
Вот только в моем случае вместо $\tau$ у меня $x$ и я не знаю, подходит ли мне такое решение. И что за функция $\eta(t-\tau)$? Нашел в интернете, что это функция Дедекинда, но у нее $\tau$ это комплексное число. Значит ли это, что это не мое решение?