2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Распространение импульса по полубесконечной струне
Сообщение20.06.2017, 00:27 


11/07/16
81
У меня проблема со следующей задачей:
Изучить распространение импульса по полубесконечной струне. Среда сопротивляется пропорционально отклонению.

Застопорился на изображениях, очень уж странная функция получилась. Мое решение:
Постановка задачи: $$\frac{\partial^2{u}}{\partial{t^2}} = \frac{\partial^2{u}}{\partial{x^2}} - \alpha u$$
ГУ: $$u(0,t) = 0$$ $$u'_x(0,t) = A\delta (t)$$ $$|u|<\infty$$
НУ считаем нулевыми.
После преобразования Лапласа получаем задачу относительно $\tilde{u}$:
$$\frac{\partial^2{\tilde{u}}}{\partial{x^2}} - \tilde{u}(\alpha - p^2) = 0$$
$$\tilde{u}'_x(0) = A$$
$$|\tilde{u}|<\infty$$
Общее решение с учетом ГУ у меня получилось в следующем виде:
$$\tilde{u}(x) = \frac{-A}{\sqrt{\alpha - p^2}}e^{-\sqrt{\alpha - p^2}x}$$
Если из первого множителя $\frac{-A}{\sqrt{\alpha - p^2}}$ еще можно худо-бедно вытащить функцию Бесселя нулевого порядка, то что делать с оставшейся экспонентой? И если это правильно, то как потом вычислять свертку функции Бесселя с чем-то еще? Закрадывается подозрение, что где-то у меня ошибка, быть может, кто-то может подсказать?
Есть еще мысль, что корень в знаменателе очень портит картину. Что делать, если кратность полюсов нецелая в том случае, если мы вычисляем интеграл через вычеты?

 Профиль  
                  
 
 Re: Распространение импульса по полубесконечной струне
Сообщение20.06.2017, 01:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5225
ФТИ им. Иоффе СПб
А куда у Вас это
Astroid в сообщении #1227267 писал(а):
$$u(0,t) = 0$$
подевалось?

 Профиль  
                  
 
 Re: Распространение импульса по полубесконечной струне
Сообщение20.06.2017, 02:07 


11/07/16
81
amon в сообщении #1227298 писал(а):
А куда у Вас это
Astroid в сообщении #1227267 писал(а):
$$u(0,t) = 0$$
подевалось?

Да, действительно. Если это учесть, то тогда у меня не выходит удовлетворить $$|\tilde{u}|<\infty$$ ибо общее решение в таком случае будет $\tilde{u} = \frac{-A}{2\sqrt{\alpha-p^2}}\sh{\sqrt{\alpha-p^2}x}$, то есть $\tilde{u}\to\infty$ при $x\to \infty$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распространение импульса по полубесконечной струне
Сообщение20.06.2017, 06:04 
Заслуженный участник


28/12/12
7906
Astroid в сообщении #1227303 писал(а):
ибо общее решение в таком случае будет $\tilde{u} = \frac{-A}{2\sqrt{\alpha-p^2}}\sh{\sqrt{\alpha-p^2}x}$, то есть $\tilde{u}\to\infty$ при $x\to \infty$

При $p^2>\alpha$ получится обычный синус, который ограничен на бесконечности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распространение импульса по полубесконечной струне
Сообщение20.06.2017, 07:28 


11/07/16
81
DimaM в сообщении #1227330 писал(а):
Astroid в сообщении #1227303 писал(а):
ибо общее решение в таком случае будет $\tilde{u} = \frac{-A}{2\sqrt{\alpha-p^2}}\sh{\sqrt{\alpha-p^2}x}$, то есть $\tilde{u}\to\infty$ при $x\to \infty$

При $p^2>\alpha$ получится обычный синус, который ограничен на бесконечности.


Понял о чем Вы. Значит, оставляем "шинус". А как быть с обратным преобразованием Лапласа? Я не уверен, можно ли вообще применять теорему о вычетах для такой функции. По ней получается, что особыми точками функции $\tilde{u}$ будут $p = \pm\sqrt{\alpha}$, но что это за точки будут? Кратные полюса? Очень смущает корень.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распространение импульса по полубесконечной струне
Сообщение20.06.2017, 07:36 
Заслуженный участник


28/12/12
7906
Astroid в сообщении #1227343 писал(а):
особыми точками функции $\tilde{u}$ будут $p = \pm\sqrt{\alpha}$

В этих точках предел функции будет равен $x$, насколько я понимаю. И интеграл по большой окружности непонятно, будет ли к нулю стремиться, так что с вычетами все сомнительно выглядит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распространение импульса по полубесконечной струне
Сообщение20.06.2017, 07:47 


11/07/16
81
DimaM в сообщении #1227344 писал(а):
с вычетами все сомнительно выглядит.

А какими еще способами такие интегралы можно брать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Распространение импульса по полубесконечной струне
Сообщение20.06.2017, 14:18 
Заслуженный участник


25/02/11
1796
А продолжить решение нечетным образом на всю прямую и взять преобразование Фурье по $x$ не проще будет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Распространение импульса по полубесконечной струне
Сообщение20.06.2017, 16:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5225
ФТИ им. Иоффе СПб
Astroid в сообщении #1227267 писал(а):
После преобразования Лапласа получаем задачу относительно $\tilde{u}$:
$$\frac{\partial^2{\tilde{u}}}{\partial{x^2}} - \tilde{u}(\alpha - p^2) = 0$$
А там знак при $p^2$ не попутан и $u'_t(x,0)$ не потеряно? (Я преобразование Лапласа не люблю, и помню его смутно, поэтому оставляю за собой право соврать.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Распространение импульса по полубесконечной струне
Сообщение21.06.2017, 07:55 


11/07/16
81
Vince Diesel в сообщении #1227462 писал(а):
А продолжить решение нечетным образом на всю прямую и взять преобразование Фурье по $x$ не проще будет?

Можете поподробнее описать то, что Вы предлагаете? Я не совсем понимаю.
amon в сообщении #1227496 писал(а):
Astroid в сообщении #1227267 писал(а):
После преобразования Лапласа получаем задачу относительно $\tilde{u}$:
$$\frac{\partial^2{\tilde{u}}}{\partial{x^2}} - \tilde{u}(\alpha - p^2) = 0$$
А там знак при $p^2$ не попутан и $u'_t(x,0)$ не потеряно? (Я преобразование Лапласа не люблю, и помню его смутно, поэтому оставляю за собой право соврать.)

Да тут мы два раза по частям берем интеграл $\int\limits_{0}^{\infty}\frac{\partial^2{u}}{\partial{t^2}}e^{-pt}dt$ и при первом интегрировании как раз получается член с $u'_t(x,0)$, но он по условию равен нулю. А знак действительно попутал, минус лишний.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распространение импульса по полубесконечной струне
Сообщение21.06.2017, 09:21 
Заслуженный участник


25/02/11
1796
Astroid в сообщении #1227802 писал(а):
Можете поподробнее описать то, что Вы предлагаете?

Ну, как сказано, взять нечетное продолжение решения и применить к нему преобразование Фурье по $x$. Попробовал сам, получается не проще. Условие для производной переходит в интегральное уравнение.

UPD. Исправил. Если $G(x,t)$ — фундаментальное решение уравнения то можно попробовать записать формулу Грина для решения $u(x,t)$. Раз там одна дельта функция, должно выражаться через ф.р. , возможно, просто какая-то производная от $G$. Остается вопрос, а это ф.р. выражается хотя бы в специальных функциях? Если да, то наверняка это где-то написано, больно уравнение простое.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение21.06.2017, 09:54 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: пока что это только матфизика.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распространение импульса по полубесконечной струне
Сообщение22.06.2017, 12:08 


11/07/16
81
Vince Diesel в сообщении #1227816 писал(а):
Astroid в сообщении #1227802 писал(а):
Можете поподробнее описать то, что Вы предлагаете?

Ну, как сказано, взять нечетное продолжение решения и применить к нему преобразование Фурье по $x$. Попробовал сам, получается не проще.

Мне вот кажется, что это уже немного перебор для такой простой задачи. А продление решения для $x<0$ выглядит излишним, т.к. задача вполне физическая и в области x<0 у нас ничего нет.
Еще мне кажется, что если мы даже бы и получили решение таким методом, оно было бы в любом случае симметрично по $x$ и, следовательно, можно было бы его получить иным способом. Задача, к слову, сугубо на преобразование Лапласа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распространение импульса по полубесконечной струне
Сообщение22.06.2017, 22:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10886
Crna Gora
Мне кажется странным набор начальных и граничных условий. Вы можете привести пример функции, которая им всем удовлетворяет? (не обязательно, чтобы она удовлетворяла уравнению)

 Профиль  
                  
 
 Re: Распространение импульса по полубесконечной струне
Сообщение24.06.2017, 16:23 


11/07/16
81
svv в сообщении #1228559 писал(а):
Мне кажется странным набор начальных и граничных условий. Вы можете привести пример функции, которая им всем удовлетворяет? (не обязательно, чтобы она удовлетворяла уравнению)

Так вот сходу не могу. Но мне они кажутся вполне физическими. Первое — условие закрепления на конце. Второе — задание импульса на этом конце. Ну третье не совсем граничное условие, просто берем ограниченные решения, т.к. решения, в которых функция неограниченно возрастает с ростом $t$ или $x$ нас не интересуют. Нулевые НУ вроде не мешают.
UPD: понял. Рассматривал решения вида $u(x,t) = A\delta(t)\sin{x}$ и понял, что как раз нулевым НУ будет удовлетворить непросто. Но ведь ответ не обязательно должен быть в элементарных функциях. Я вот нашел в таблицах курса ТФКП Лавреньтева функцию, похожую на мою.
$\frac{e^{-\tau\sqrt{a^2+p^2}}}{\sqrt{a^2+p^2}}\leftrightarrow J_0(a\sqrt{t^2-\tau^2})\eta(t-\tau)$.
Вот только в моем случае вместо $\tau$ у меня $x$ и я не знаю, подходит ли мне такое решение. И что за функция $\eta(t-\tau)$? Нашел в интернете, что это функция Дедекинда, но у нее $\tau$ это комплексное число. Значит ли это, что это не мое решение?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 41 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group