Непонятный пример из Фихтенгольца

[azmt]

Приветствую. Читаю Фихтенгольца Т.1, взятый отсюда.
На стр. 245 написано:
Рассмотрим , например, функцию, определённую так:
$f(x)=x^3\cdot \sin(\frac 1 x)$, $(x\neq0)$, $f(0)=0$
Для неё существует первая производная:
$f(x)=3x^2\cdot \sin(\frac 1 x)-x\cdot \cos(\frac 1 x) $, $(x\neq0)$, $f'(0)=0$.
Не понимаю почему функция и её производная при $f(0)=0$. Данные функции не определены в нуле.

[Brukvalub]

Сама функция в нуле задается не той формулой, которой она задается в ненулевых точках, а отдельным условием: $f(0)=0.$ А производную в нуле вы должны подсчитать уже сами, но не путем формульного дифференцирования, а с помощью определения производной, т.е. как предел отношения приращений.

[arseniiv]

Другими словами, про $f$ это просто запись

$$f(x) = \begin{cases} x^3\sin\frac1x, & x\ne0, \\ 0, & x=0 \end{cases}$$

в одну строчку.

[azmt]

Извиняюсь, слегка ошибся.
$$f'(x)=3x^2\cdot \sin(\frac 1 x)-x\cdot \cos(\frac 1 x) $, $(x\neq0)$, $f'(0)=0$$.

[Someone]

azmt в сообщении #1228525 писал(а):

Не понимаю почему функция и её производная при $f(0)=0$.

По определению. Функция так определяется, что при $x\neq 0$ она равна $x^2\sin\frac 1x$, а при $x=0$ — нулю.

P.S. Ссылайтесь, пожалуйста, не на страницы, которые в разных изданиях могут быть разными (у меня, например, страница 211), а на главы, параграфы, пункты (чем точнее, тем лучше). Здесь, например, можно было сослаться на пункт 102, пример 2°.

[Brukvalub]

Someone в сообщении #1228543 писал(а):

По определению.

Это только функция "по определению". А вот производная - уже "по вычислению".

[azmt]

Теперь понял. Всем спасибо.