Неравенство с факториалами

[arqady]

Докажите, что:

$$\left(1!2!...n!\right)^2\leq(1+2+...+n)!$$

[Sergic Primazon]

arqady в сообщении #1227454 писал(а):

Докажите, что:

$$\left(1!2!...n!\right)^2\leq(1+2+...+n)!$$

При $n=1$ все выполняется .

Пусть верно при $ n=N$

$$(N+1)!^2 \le \left(\dfrac {N^2+N}{2}+1\right)...\left ( \dfrac {N^2+N}{2} +(N+1)\right)$$

$$\sqrt[N+1]{(N+1)!} \le \dfrac {1}{N+1}(1+...+(N+1))= \dfrac {N+2}{2}$$

$$ \left ( \dfrac {N+2}{2} \right )^2 \le \dfrac {N^2+N}{2}+1$$