Найти объем тела, образованного вращением фигуры

[Poly18]

Здравствуйте!
Задача такая, нужно найти объем тела, образованного вращением фигуры вокруг полярной оси, ограниченной графиком функции
$p^2 = 16\cos2\theta $
При этом нужно использовать формулу нахождения в сферических координатах.
$ V = \iiint\limits_U {{\rho ^2}\sin \theta d\rho d\varphi d\theta } $

Вот что получилось у меня. Всё ли здесь верно?

$V={\int\limits_0^{\large\frac{\pi }\normalsize} {d\varphi } \int\limits_0^{\large\frac{\pi }{4}\normalsize}{\sin \theta d\theta } \int\limits_{-4\sqrt{\cos2\theta}}^{4\sqrt{\cos2\theta}}{{\rho ^2}d\rho } }$

[Metford]

Я правильно понял, что у Вас расстояние отрицательное во внутреннем интеграле?

[svv]

Уточните, пожалуйста, пределы внешнего интеграла.

[Poly18]

Metford
Да, хотя первоначально был 0, но потом один товарищ посоветовал таким образом записать.

svv
От 0 до $\pi$
$ {\int\limits_0^{\pi }\normalsize} $

[Metford]

Poly18 в сообщении #1226924 писал(а):

Да, хотя первоначально был 0, но потом один товарищ посоветовал таким образом записать.

Вы его больше не слушайте... В сферических координатах буковка $\rho$ неотрицательная.

[Poly18]

Metford
Да, спасибо, в этом полностью согласен.
А что насчет других значений?

[svv]

Poly18 в сообщении #1226924 писал(а):

От 0 до $\pi$
$ {\int\limits_0^{\pi }\normalsize} $

Так это же только пол-оборота.

[Poly18]

svv
А разве это угол не должен изменяться от 0 до $\pi$ от положительного направления оси OZ. Или же это относится ко второму углу?

[svv]

Можно посмотреть в статье Сферическая система координат в Википедии.

[Poly18]

svv в сообщении #1226946 писал(а):

Можно посмотреть в статье Сферическая система координат в Википедии.

Да, действительно. В разных источниках название углов меняют местами. Надо быть внимательней. Спасибо!

[svv]

Остался последний вопрос — о пределах по $\theta$. Ваш вариант понятен, но дело в том, что у этой кривой две ветви (лепестка):
Wolfram|Alpha: polar plot r^2=16*cos(2*theta)
(на графике полярная ось направлена горизонтально)
Составитель задачи мог иметь в виду, что фигура берётся с обоими лепестками, тогда область интегрирования по $\theta$ складывается из двух интервалов, разделённых «мёртвой зоной».

[Poly18]

svv в сообщении #1226951 писал(а):

Остался последний вопрос — о пределах по $\theta$. Ваш вариант, в принципе, правильный, но дело в том, что у этой кривой две ветви (лепестка):
Wolfram|Alpha: polar plot r^2=16*cos(2*theta)
(на графике полярная ось направлена горизонтально)
Составитель задачи мог иметь в виду, что фигура берётся с обоими лепестками, тогда интервал интегрирования по $\theta$ складывается из двух непересекающихся кусков.

Составитель задачи(а точнее преподаватель) точно не сформулировал этот вопрос. Изначально надо было найти объем, только используя вот эту формулу

$V=2\pi/3\int\limits_{\alpha}^{\beta} p^3 \sin(\varphi)d\varphi$

[svv]

Metford, как Вы считаете, по умолчанию нужно учитывать объём обоих лепестков?

[Metford]

svv, я бы взял оба лепестка. Но лучше уточнить у преподавателя, наверное...

По-моему как-то раз - ещё когда я был исключительно читателем здесь - была тема, в которой обсуждалось нечто подобное: сколько лепестков брать у кривой в подобных случаях. Т.е. нужно ли учитывать ограничения на угол, накладываемые при введении системы координат. Насколько помнится, к определённому выводу не пришли.

[svv]

Спасибо. В общем, скорее всего, надо учитывать оба, но лучше уточнить у преподавателя.