Любая ли топология на \mathbb{N} имеет счётную базу?

[Legioner93]

Любая ли топология на $\mathbb{N}$ удовлетворяет второй аксиоме счётности?

[Anton_Peplov]

Рассуждения на голом нахальстве: ответ не может быть "да", потому что это было бы слишком красивое утверждение, чтобы пройти мимо учебников. Значит, надо искать контрпример.
Рассмотрим систему $S$ всех подмножеств $\mathbb N$ таких, что пересечение конечного числа любых множеств из $S$ бесконечно. Надо доказать, что $S$ несчетна, но поля слишком узки.

[mihaild]

Anton_Peplov, не очень понятно, как определяется $S$ (в $2^\mathbb{N}$ много максимальных таких систем подмножеств). Такую континуальную систему выбрать легко: в каждое множество входят все нечетные числа, и какое-то подмножество четных. А что дальше?

[kp9r4d]

В 21 веке же живём, ну.

[Anton_Peplov]

mihaild в сообщении #1226636 писал(а):

не очень понятно, как определяется $S$ (в $2^\mathbb{N}$ много максимальных таких систем подмножеств).

Упрек принят.

mihaild в сообщении #1226636 писал(а):

А что дальше?

Дальше я кое-что хотел из этого слепить без уверенности, что получится. Но уже не важно.

kp9r4d в сообщении #1226642 писал(а):

В 21 веке же живём, ну.

А вот это быстро, решительно отнес в "Интернет-ресурсы (М)".

[mihaild]

Отличный ресурс!

Мой вариант (кажется не эквивалентный приведенным): $\mathbb{Q} \cap [0; 1]$ в качестве носителя, замкнуты множества, имеющие не более конечного числа предельных точек в $[0; 1]$ (ну и весь носитель). Выберем счетную замкнутую базу, возьмем все предельные точки ее элементов - их счетно, возьмем вещественное число, в них не попадающее, возьмем сходящуюся к нему последовательность - это замкнутое множество, которое нельзя получить пересечением элементов базы.