2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Помогите разобраться с частными производными сложной функции
Сообщение11.06.2017, 12:22 
Никак не могу разобраться как оно правильно работает уже в течение длительного времени (с функцией одной переменной естественно проблем нет).

Даны две функции:
$u=f(x^2+y^2+z^2)$ и $u=f(x,xy,xyz)$ (абсолютно разные не связанные друг с другом функции)

Из теории известно, что частые производные берутся следующим образом
$\frac{\partial{u}}{\partial{x}}\cdot\frac{\partial{x}}{\partial{t}}+\ldots+\ldots$

И так по всем компонентам.

Но я не понимаю, как оно должно выглядеть в развернутом виде

 
 
 
 Re: Помогите разобраться с частными производными сложной функции
Сообщение11.06.2017, 12:24 
Аватара пользователя
Почему у Вас две разные функции (одна зависит от одного аргумента, другая от трёх) обозначены одной буквой $f$?

 
 
 
 Re: Помогите разобраться с частными производными сложной функции
Сообщение11.06.2017, 12:29 
svv в сообщении #1224257 писал(а):
Почему у Вас две разные функции (одна зависит от одного аргумента, другая от трёх) обозначены одной буквой $f$?

потому, что это абсолютно разные функции никак не зависящие друг от друга. Просто хочу разобраться как действовать когда функция зависит от одного сложного аргумента, а когда от трех

 
 
 
 Re: Помогите разобраться с частными производными сложной функции
Сообщение11.06.2017, 13:09 
Аватара пользователя
Начнём с первого примера.
Дана функция $u=f(v)$. Пусть аргумент $v$ сам является функцией $x, y, z$:
$v=g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$
Тогда $u=h(x, y, z)=f(g(x, y, z))$. Функция $h$ — композиция двух функций. Можете сделать следующий шаг?

 
 
 
 Re: Помогите разобраться с частными производными сложной функции
Сообщение11.06.2017, 14:35 
svv в сообщении #1224270 писал(а):
Начнём с первого примера.
Дана функция $u=f(v)$. Пусть аргумент $v$ сам является функцией $x, y, z$:
$v=g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$
Тогда $u=h(x, y, z)=f(g(x, y, z))$. Функция $h$ — композиция двух функций. Можете сделать следующий шаг?


С первым примером вроде все ясно, т.e. на примере $x$ компоненты поступаем так:
$\frac{\partial{u}}{\partial{f}}\cdot\frac{\partial{f}}{\partial{x}} = 2x \cdot f' $

Если выписывать по отдельности выходит:
$\frac{\partial{u}}{\partial{f}} = f'= f'(x^2+y^2+z^2)$ - заносим под штрих только $f$, потому что внутрь функции еще не смотрели
$\frac{\partial{f}}{\partial{x}} = 2x$ - берем аргумент функции по x

Дальше в силу симметрии понятно что изменится только буква в конечном ответе.

А как быть со вторым примером где несколько аргументов?

 
 
 
 Re: Помогите разобраться с частными производными сложной функции
Сообщение11.06.2017, 15:42 
Аватара пользователя
tremor в сообщении #1224309 писал(а):
А как быть со вторым примером где несколько аргументов?
У Вас же в первом сообщении написано:
tremor в сообщении #1224256 писал(а):
Из теории известно, что частые производные берутся следующим образом
$\frac{\partial{u}}{\partial{x}}\cdot\frac{\partial{x}}{\partial{t}}+\ldots+\ldots$
Вот и берите формулу из учебника.

У Вас там $f(u,v,w)$, где $u=x$, $v=xy$, $w=xyz$.

 
 
 
 Re: Помогите разобраться с частными производными сложной функции
Сообщение11.06.2017, 17:52 
Someone в сообщении #1224325 писал(а):
tremor в сообщении #1224309 писал(а):
А как быть со вторым примером где несколько аргументов?
У Вас же в первом сообщении написано:
tremor в сообщении #1224256 писал(а):
Из теории известно, что частые производные берутся следующим образом
$\frac{\partial{u}}{\partial{x}}\cdot\frac{\partial{x}}{\partial{t}}+\ldots+\ldots$
Вот и берите формулу из учебника.

У Вас там $f(u,v,w)$, где $u=x$, $v=xy$, $w=xyz$.


Да, уже тоже разобрался

-- 11.06.2017, 19:00 --

Остался последний вопрос, как получаются производные второго порядка? На примере всё той же $x$ компоненты из первого примера, в ответе:
$\frac{\partial{u}}{\partial{x^2}} = 2xf'(x^2+y^2+z^2)+4x^2f''(x^2+y^2+z^2)$

что никак до меня не доходит:

разве не должно быть просто $2f''(x^2+y^2+z^2)$ ?

 
 
 
 Re: Помогите разобраться с частными производными сложной функции
Сообщение11.06.2017, 21:18 
Аватара пользователя
Взяли первую производную, получилось произведение $2x$ и $f'$. При втором дифференцировании применили формулу производной произведения, а потом ко второму сомножителю — формулу производной сложной функции.

 
 
 
 Re: Помогите разобраться с частными производными сложной функции
Сообщение11.06.2017, 21:45 
Аватара пользователя
tremor в сообщении #1224349 писал(а):
$\frac{\partial{u}}{\partial{x^2}} = 2xf'(x^2+y^2+z^2)+4x^2f''(x^2+y^2+z^2)$
В формуле две опечатки.
Во-первых, вторая частная производная обозначается $\frac{\partial^2u}{\partial x^2}$.
Во-вторых, в правой части первое слагаемое не должно содержать множителя $x$.

 
 
 
 Re: Помогите разобраться с частными производными сложной функции
Сообщение11.06.2017, 21:52 
svv в сообщении #1224412 писал(а):
Взяли первую производную, получилось произведение $2x$ и $f'$. При втором дифференцировании применили формулу производной произведения, а потом ко второму сомножителю — формулу производной сложной функции.


Да, спасибо, теперь разобрался в одной из самых для себя неудобоваримых тем

 
 
 
 Re: Помогите разобраться с частными производными сложной функции
Сообщение11.06.2017, 23:15 
Аватара пользователя
А можно я Вам тогда задам трудную-претрудную задачу?
Переменная $u$ зависит от переменных $y_1, \ldots, y_m$.
Каждая из переменных $y_1, \ldots, y_m$ зависит от переменных $x_1,\ldots, x_n$.

Выразить производную $\frac{\partial u}{\partial x_k}$ через производные $u$ по игрекам и производные игреков по иксам.
Это довольно общий случай. Ваши примеры — его частные случаи. Справитесь — значит, точно разобрались.

 
 
 
 Re: Помогите разобраться с частными производными сложной функции
Сообщение12.06.2017, 12:52 
Если я правильно осознал степень вложенности, для $k$-того икса:
$\frac{\partial{u}}{\partial{x}_k} = \frac{\partial{u}}{\partial{y_k}}\cdot\frac{\partial{y_k}}{\partial{x_k}}$

Ну а если вложенность конечная, то просто пробежать так по каждой компоненте и сложить все полученные производные

 
 
 
 Re: Помогите разобраться с частными производными сложной функции
Сообщение12.06.2017, 13:03 
Аватара пользователя
tremor в сообщении #1224574 писал(а):
Если я правильно осознал степень вложенности

Нет, похоже неправильно.
svv в сообщении #1224455 писал(а):
Каждая из переменных $y_1, \ldots, y_m$ зависит от переменных $x_1,\ldots, x_n$.

В смысле, что каждая -- от всех.

-- 12.06.2017, 13:05 --

И вообще у вас какая-то своя терминология... насчет "степени вложенности", которая к тому же может быть"конечной" .В каком смысле?

 
 
 
 Re: Помогите разобраться с частными производными сложной функции
Сообщение12.06.2017, 13:15 
Аватара пользователя
Да, конечно, каждый игрек зависит от каждого икса. Поэтому к выбранному нами $x_k$ игрек с тем же индексом, $y_k$, никакого особого отношения не имеет. К $x_k$ имеют отношение все игреки.
tremor в сообщении #1224574 писал(а):
просто пробежать так по каждой компоненте и сложить все полученные производные
Похоже на правду. А как это реализовать в виде формулки?

 
 
 [ Сообщений: 14 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group