Второй замечательный предел

[kthxbye]

Берем произвольное число, подставляем в формулу $(1+\frac{1}{n})^n$, получаем определенный результат, подставляем уже его в формулу, получаем результат и т.д. В конце концов приходим к определенной константе, при которой все повторяется ($2,29316629$). При аналогичных действиях, но уже с формулой $(1+\frac{1}{n})^{n+1}$, получаем константу, похожую на пи - $3,14104153$ (разница $\frac{100}{181446}$). Едем дальше, общий вид формулы соот.-но $(1+\frac{1}{n})^{n+k}$, имеем вот такие результаты:



Что это за числа и почему с 10 цикл увеличивается до двух членов? Увеличится ли он до трех и более, если да, то при каких значениях?

[arseniiv]

Попробуйте поподставлять числа между 9 и 10 и найти, где начинается бифуркация.

[kthxbye]

Нет, это не $\pi^2$.. где-то около $9,3255$. А что это вообще такое? Почему получается константа?

[Otta]

Откуда $18,...$ при $k=10$? Какой цикл имеется в виду?
Откуда первое значение - понятно.

[StaticZero]

kthxbye в сообщении #1223917 писал(а):

Что это за числа

Решения уравнений

$$ \left(1 + \dfrac1x\right)^{x+k} = x. $$

Вы применяете оператор

$$ f(x) = \left(1 + \dfrac1x\right)^{x+k} $$

сам к себе, если он сжимающий, то последовательность сойдется к корню $f(x)=x$. Про циклы подумайте, сколько частичных пределов существует у последовательности

$$a_1 = x, \quad a_2 = f(x), \quad a_3 = f(f(x)), \ldots$$

и обоснуйте.

-- 10.06.2017, 02:54 --

А ещё у меня такое подозрение, что не при всех начальных приближения для $k>9$ оператор чисто сжимающий (взяли один икс, на котором производная оператора меньше единицы, подставили, получили новый икс, на котором производная оператора больше 1, и так далее). Такая болтанка в силу быстрого убывания производной оператора, я думаю, приведёт не более, чем к двум частичным пределам.

[mihaild]

StaticZero в сообщении #1223933 писал(а):

на котором производная оператора больше 1

Если производная оператора по модулю больше $1$, то расстояние от точки до точек из ее окрестности увеличивается.

[Vince Diesel]

Численно для в второй итерации у функции $g(x)=x-f(f(x))$ появляется тройной корень при $k_0=9.32584\ldots$, $x_0=7.84583\ldots$, который при увеличении $k$ расползается в три корня. Т.е. $g$ в окрестности точки $(x_0,k_0)$ ведет себя как $x^3-ax$, один корень при $a<0$ и три при $a>0$.