Частная производная в (0,0)

[Quaserozus]

Нужно найти значение частной производной по x в точке $(0,0)$ у функции $f(x,y)=(x^3+y^3)^{1/3}$. Эта производная равна $x^2*(x^3+y^3)^{-2/3}. Но в точке $(0,0)$ эта производная не определена. Как ее посчитать? Или если она не существует, как это доказать?

[Brukvalub]

Quaserozus в сообщении #1223629 писал(а):

Как ее посчитать?

По определению.

[Anton_Peplov]

Quaserozus в сообщении #1223629 писал(а):

Эта производная равна $x^2*(x^3+y^3)^{-2/3}$.

Здесь что-то не так (и не только то, что звездочку в качестве знака умножения использовать не надо).

[wrest]

Anton_Peplov в сообщении #1223669 писал(а):

Здесь что-то не так

У меня производная получилась такой же
$\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{x^2}{(x^3+y^3)^{2/3}}=x^2(x^3+y^3)^{-2/3}$

[Anton_Peplov]

Обратите внимание на условия применимости формул, которыми пользуетесь.

[Brukvalub]

wrest в сообщении #1223681 писал(а):

У меня производная получилась такой же

Если ошибку повторить много раз, он не перестает быть ошибкой.

[iou]

Для начала нужно понять: существует ли вообще частная производная в точке $(0, 0)$? Проще всего это понять по определению, как Вам и сказал Brukvalub, лучше воспользоваться этим советом.

[EUgeneUS]

Может я чего-то не понимаю.
Brukvalub, конечно прав, надо пользоваться определением.

Если пользоваться определением и использовать условие задачи, то мы должны прибить гвоздями $y$ к нулю.
Можем сначала прибить гвоздями и посчитать производную функции одной переменной в точке. Можем посчитать частную производную в общем виде, как сделал ТС, и потом прибить гвоздями...

Все равно получается, что частная производная по x в точке $(0,0)$ существует и равна единице... Нет?

[Anton_Peplov]

EUgeneUS в сообщении #1223765 писал(а):

Может я чего-то не понимаю

Не исключено.

EUgeneUS в сообщении #1223765 писал(а):

Brukvalub, конечно прав, надо пользоваться определением.

Несомненно.

EUgeneUS в сообщении #1223765 писал(а):

Можем посчитать частную производную в общем виде, как сделал ТС, и потом прибить гвоздями...

Вот про это подробнее. Чему равна "частная производная в общем виде, как сделал ТС", и что к чему в ней надо "прибить гвоздями"?

[EUgeneUS]

Anton_Peplov
Вот выкурил сигарету, нашел ошибку, собрался сказать, но Вы были быстрее.
Нельзя вот так просто извлекать корни из квадратов отрицательных чисел.
Нет там производной, да.

[Anton_Peplov]

EUgeneUS в сообщении #1223768 писал(а):

Нельзя вот так просто извлекать корни из квадратов отрицательных чисел.

Ми пардон, это вообще о чем? Давайте уж постепенно, по шагам.

EUgeneUS в сообщении #1223768 писал(а):

Нет там производной, да.

Есть. Частная. По $x$. Мы же ее ищем?

[EUgeneUS]

Anton_Peplov

Запутали Вы меня , смутили.
Про шагам.
1. "Сначала прибиваем гвоздями $y$ к нулю", потом считаем частную производную. По определению и условиям, искомая производная равна производной по $x$ функции $f(x,0)=(x^3+y^3)^{1/3}=(x^3)^{1/3}=x$. Тут вроде никаких подвохов нет. Производная по $x$ в $(0,0)$ равна единице.

2. Считаем производную по x в общем виде. Получаем, как у всех:
$\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{x^2}{(x^3+y^3)^{2/3}}=x^2(x^3+y^3)^{-2/3}$
"Прибиваем гвоздями $y$ к нулю"

$\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{x^2}{(x^3)^{2/3}}=x^2(x^3)^{-2/3}$

Предел при $x\to0$ равен единице. С обеих сторон. Да.

[ewert]

EUgeneUS в сообщении #1223777 писал(а):

Предел при $x\to0$ равен единице. С обеих сторон. Да.

Да. И что?

Пока что -- ничего. Пока не задействована некоторая теорема. Но она не так уж и тривиальна, поэтому проще в лоб.

[Anton_Peplov]

EUgeneUS в сообщении #1223777 писал(а):

Получаем, как у всех:
$\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{x^2}{(x^3+y^3)^{2/3}}$

В каких точках это равенство верно?

[EUgeneUS]

Anton_Peplov
Во всех, где определена правая часть.
Там, где правая часть не определена, надо рассмотреть предел правой части (существует ли при фиксированном $y$ и чему равен).
Да, ewert написал, что есть теорема о том, когда и почему это можно делать, но уже её не вспомню.
Как минимум надо потребовать непрерывности функции, но она и непрерывна.