Преобразование Фурье

[StaticZero]

Я порылся в Зориче и в Снеддоне, и не могу найти теорему о том, что если у абсолютно интегрируемой непрерывной функции есть образ Фурье, то он обязан убывать на бесконечности. Теорема Фурье об обратном преобразовании требует дифференцируемости этой же функции, и мне кажется, что это "из пушки по воробьям", что факт убывания образа должен доказываться как-нибудь отдельно и не требовать дифференцируемости функции.

Зорич предлагает обратиться к лемме Римана, отсылая к рядам. Но я хочу развязать ряд Фурье и интеграл Фурье, отделив мух от котлет и работать только с интегральным преобразованием как таковым, "ничего не зная про ряды".

Как можно подойти тогда самостоятельно к доказательству этого факта? Рыться в книжках можно долго, но это скучно. Хочется самому порассуждать, но с каких точек начать я не знаю. Или для не дифференцируемых функций убывание образа вообще не правда, и всегда требуется хотя бы первая степень дифференцируемости, и нулевой не достаточно?

[g______d]

StaticZero в сообщении #1223435 писал(а):

Как можно подойти тогда самостоятельно к доказательству этого факта? Рыться в книжках можно долго, но это скучно. Хочется самому порассуждать, но с каких точек начать я не знаю. Или для не дифференцируемых функций убывание образа вообще не правда, и всегда требуется хотя бы первая степень дифференцируемости, и нулевой не достаточно?

Доказать для дифференцируемых функций, а потом аппроксимировать произвольную функцию из $L^1$ дифференцируемыми функциями по норме $L^1$. Последнее можно сделать с помощью свёртки $f$ с $\delta$-образной последовательностью (например, с функциями вида $\varepsilon^{-1}g(x/\varepsilon)$, где $g$ -- гладкая неотрицательная функция с компактным носителем и интегралом, равным единице).

[Mishka_Barni]

Можно несколько иначе: доказать для характеристической функции отрезка, потом для линейных комбинации характеристических функций отрезков, затем приблизить ими произвольную функцию из $L(\mathbb{R})$. Но аккуратно это сделать, наверное, дольше чем способ выше.

[StaticZero]

Спасибо за ответы, я чуть позже обдумаю и сформулирую то, что придумаю, если придумаю.

[Mishka_Barni]

И да.

StaticZero в сообщении #1223435 писал(а):

если у абсолютно интегрируемой непрерывной функции есть образ Фурье, то он обязан убывать на бесконечности.

1) не обязан убывать. 2) преобразование Фурье корректно определено для любой интегрируемой функции ($L(\mathbb{R})$).

StaticZero в сообщении #1223435 писал(а):

Или для не дифференцируемых функций убывание образа вообще не правда

1) вообще говоря преобразование Фурье функции из $L(\mathbb{R})$ не является монотонной функцией в окрестности бесконечности, даже ограниченной вариации может не быть.

2) лемма Римана-Лебега (как я понял, она подразумевается) справедлива для любой функции из $L(\mathbb{R})$, не обязательно дифференцируемой. А вот если продолжить преобразование Фурье на $L_2(\mathbb{R})$, то там она уже, в общем, не справедлива.

StaticZero в сообщении #1223435 писал(а):

Рыться в книжках можно долго, но это скучно.

StaticZero в сообщении #1223435 писал(а):

в Зориче и в Снеддоне

imho, про преобразование Фурье лучше почитать:
Ахиезер Н. И. "Лекции об интегральных преобразованиях" или Стейн И., Вейс Г. "Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах" ( hardcore )
подробное доказательство леммы Римана-Лебега можно посмотреть в Макаров Б.М., Подкорытов А.Н. "Лекции по вещественному анализу" или в Колмогоров-Фомине.

А можно самому доказать, если есть желание.

[svv]

Mishka_Barni в сообщении #1223570 писал(а):

StaticZero в сообщении #1223435 писал(а):

если у абсолютно интегрируемой непрерывной функции есть образ Фурье, то он обязан убывать на бесконечности.

1) не обязан убывать.

Поясните, пожалуйста, почему не обязан. Вот Зорич пишет:

Цитата:

Уже из леммы Римана следует, что преобразование Фурье любой абсолютно интегрируемой на $\mathbb R$ функции стремится на бесконечности к нулю.

[ewert]

svv в сообщении #1223596 писал(а):

почему не обязан.

Потому, что именно слово "убывать" было выделено. Т.е. в этом смысле его тоже употребляют, но это всё-таки жаргон.

[svv]

А, ясно.

[Mishka_Barni]

Стремится к нулю, не значит убывать. Наверное, можно сказать "убывает на бесконечности", подразумевая "на бесконечности стремится к нулю\исчезает", но как мне кажется, это не совсем точно.

Возможно, придрался не обосновано.

[ewert]

Mishka_Barni в сообщении #1223612 писал(а):

Наверное, можно сказать "убывает на бесконечности", подразумевая "на бесконечности стремится к нулю\исчезает", но как мне кажется, это не совсем точно.

Бывают случаи, когда такое словоупотребление общепринято. Например, "потенциал убывает на бесконечности" означает ровно стремление к нулю. Но здесь так говорить действительно нехорошо.

[svv]

Да, часто говоришь «убывает» и не замечаешь уже, что подразумевается «по модулю». Зорич тоже пишет о скорости убывания коэффициентов Фурье, хотя реально они могут возрастать с ростом номера.

[Munin]

ewert в сообщении #1223616 писал(а):

Например, "потенциал убывает на бесконечности" означает ровно стремление к нулю.

Кстати, нет. В физике это означает не ровно стремление к нулю, а часто нечто большее. Чего именно большее - решают по месту. Например, $\varphi=O(1/r).$

[ewert]

Да, ещё кстати.

StaticZero в сообщении #1223435 писал(а):

Зорич предлагает обратиться к лемме Римана, отсылая к рядам. Но я хочу развязать ряд Фурье и интеграл Фурье, отделив мух от котлет

Лемма Римана как таковая никакого отношения к рядам не имеет, она в них лишь используется. Причём в формулировке Зорича она применима в т.ч. и к бесконечным промежуткам. И доказывает это вполне классически: сначала отступает от концов за счёт абсолютной интегрируемости, а потом приближает функцию ступенчатыми на полученном уже конечном промежутке. В общем, она вполне автономна и ничего, кроме определения интегрируемости и непосредственно связанных с ней понятий не задействует.

-- Пт июн 09, 2017 14:57:10 --

Munin в сообщении #1223619 писал(а):

Кстати, нет. В физике это означает не ровно стремление к нулю,

Поскольку речь шла об аккуратности формулировок -- имелась в виду математика. В частности, матфизика. Но никак не физика.

[Munin]

ewert в сообщении #1223635 писал(а):

В частности, матфизика. Но никак не физика.