Расходимость гармонического ряда

[kthxbye]

Насколько корректным является доказательство от противного, приведенное на соответствующей странице в википедии? Можно ли вообще отнимать друг от друга суммы, у которых разное количество членов?

[mihaild]

Корректно (единственное - стоило бы сказать, что можно переставлять члены как угодно, т.к. все члены положительны - и, если ряд вообще сходится, он сходится абсолютно).

kthxbye в сообщении #1222507 писал(а):

Можно ли вообще отнимать друг от друга суммы, у которых разное количество членов?

Вообще можно, конечно (что мешает?), но где там это делается?

[kthxbye]

$S=(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+...)+\frac{1}{2}(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...)$

Очевидно, что ряд, умножаемый на $\frac{1}{2}$, пусть даже он будет бесконечным, по количеству членов меньше исходного в два раза.

[Someone]

kthxbye в сообщении #1222543 писал(а):

Очевидно, что ряд, умножаемый на $\frac{1}{2}$, пусть даже он будет бесконечным, по количеству членов меньше исходного в два раза.

Это такой юмор?

[mihaild]

kthxbye в сообщении #1222543 писал(а):

по количеству членов меньше исходного в два раза

Что это вообще значит?
Понятие "число членов" определено только для конечных сумм. Жаргонно говорят "число членов бесконечно", если сумма бесконечна. Но что значит, что в одной бесконечной сумме число членов в $n$ раз меньше, чем в другой - непонятно.

Формально, тут используется две теоремы:
1) если $a_n \geqslant 0$ и $b_n \geqslant 0$, то ряд $a_1 + b_1 + a_2 + b_2 + \ldots$ сходится тогда и только тогда, когда сходятся оба ряда $a_1 + a_2 + \ldots$ и $b_1 + b_2 + \ldots$, причем он сходится к сумме их сумм; (замечание: если убрать требование положительности, то переход "только тогда" станет неверным) - используется при разбиении ряда на два
2) если $a_1 + a_2 + \ldots$ сходится, то $c \cdot a_1 + c \cdot a_2 + \ldots$ сходится, причем к сумме исходного ряда, умноженной на $c$ - используется при вынесении $\frac{1}{2}$ за скобки