Как вводятся новые методы ?

[Soul Friend]

Как вводятся новые методы в математике (такие как суммирование $\sum$ или произведений $\prod$? И существует ли, якобы, такой метод как циклическое повторение одной операции (или формулы) до заданной $n$ с передачей результата одной переменной которая участвует в этой операции (формуле) ?
Визуально и коротко это выглядело бы так например:

$$a=2$$

$$(a=+2)^{\textasciitilde 3}=8$$

$a=a+2=4$ , $a=a+2=6$ , $a=a+2=8$ . Можно ответить более развернуто чем ......

[Aritaborian]

Soul Friend в сообщении #1222437 писал(а):

И существует ли, якобы, такой метод как циклическое повторение одной операции (или формулы) до заданной $n$ с передачей результата одной переменной которая участвует в этой операции (формуле) ?

Видимо, у вас из головы вылетело слово «итерация» ;-)

[Soul Friend]

как пишется эта итерация в математических формулах?

[kp9r4d]

Обычно как $f^{(n)}$

[Someone]

Soul Friend в сообщении #1222437 писал(а):

$a=a+2=4$ , $a=a+2=6$ , $a=a+2=8$ .

Запись безобразная. В математике так не пишут, потому что буква обозначает определённый объект.
В данном случае можно использовать определение по индукции.
Определяется функция $\varphi(n)$ (на множестве натуральных чисел) двумя условиями:
1) $\varphi(0)=a$;
2) $\varphi(n+1)=f(\varphi(n),n)$, где $f(x,y)$ — заданная функция двух переменных.

Ваш пример: $f(x,y)=x+2$, $\varphi(0)=2$, $\varphi(n+1)=f(\varphi(n),n)=\varphi(n)+2$.

Но это простейшая схема определения по индукции. Есть более сложные, которые можно придумать по аналогии.

kp9r4d в сообщении #1222442 писал(а):

Обычно как $f^{(n)}$

По-моему, обычно без скобок:

$$f^n(x)=\underbrace{f(f(f(\ldots f(}_{n\text{ раз}}x)\ldots))).$$

Но это, конечно, дело автора текста, как обозначить. Только пусть предупредит читателей.

[Soul Friend]

Благодарствуйте !!!

[Otta]

Soul Friend
Вы как-нибудь мух отдельно, котлеты отдельно. Математические методы - это одно. (В какой области, кстати?) Обозначения - о чем Ваш стартовый пост - это совсем другое.

[Soul Friend]

исправил, ссылка не по теме была

[arseniiv]

kp9r4d в сообщении #1222442 писал(а):

Обычно как $f^{(n)}$

Кстати, как-то придумал по аналогии с чем-то, а потом встретил в реальных текстах обозначение $f^{\circ\,n}$ (пригодно вообще для степени любой операции $\circ$). Если одинаково часто встречаются и степени композиции, и всякие квадраты-кубы, или просто несколько разных операций на одном и том же, может быть полезно. Другое дело, что у ТС в голове не пойми что.

Soul Friend в сообщении #1222437 писал(а):

Как вводятся новые методы в математике (такие как суммирование $\sum$ или произведений $\prod$?

Как уже заметили, пока набирался этот пост, это не «методы», а просто обозначения. Все новые обозначения в математике (и других хороших местах) вводятся определением. Другое дело, если вас вдруг интересовали штуки типа $\bigoplus\limits_{i\in I} a_i$, когда уже известна какая-то конкретная операция с обозначением $\oplus$ — они все определяются одинаково:*

• Если операция ассоциативна, можно взять любое непустое конечное $I$ и определить индуктивно

$$\bigoplus\limits_{i\in\{c\}} a_i = c;\qquad \bigoplus\limits_{i\in I\cup\{c\}} a_i = c\oplus\left( \bigoplus\limits_{i\in I\setminus\{c\}} a_i \right),$$

если $I\setminus\{c\}\ne\varnothing$; корректность определения будет гарантироваться ассоциативностью $\oplus$.
• Если операция имеет нейтральный элемент $e$, можно доопределить $\bigoplus\limits_{i\in\varnothing} a_i = e$.
• Для тех семейств $a_i$, для которых $I' = \{i\in I : a_i\ne e\}$ конечно, можно определить $\bigoplus\limits_{i\in I} a_i$ и для бесконечных $I$, беря $I'$ вместо $I$.
• $\bigoplus\limits_{i=m}^n a_i = \bigoplus\limits_{i\in m..n} a_i$, где $m..n = \{k\in\mathbb N : m\leqslant k\leqslant n\}$.
• Ну и если у нас есть пределы, в случае существования и единственности $\lim\limits_{n\to\infty} \bigoplus\limits_{i=m}^n a_i$ можно определить $\bigoplus\limits_{i=m}^\infty a_i$ значением предела, однако смысл этой штуки уже заметно отличается от смысла предыдущих, т. к. в них перестановка разных $a_i$ ничего не изменит, а тут может.

Кажется, других подобных обозначений нет. Заодно пусть меня поправят, если что.

* Не то чтобы я ожидал, что ТС всё это поймёт прям сейчас, базы явно недостаточно.

[mihaild]

arseniiv в сообщении #1222452 писал(а):

Если операция ассоциативна, можно взять любое непустое конечное $I$ и определить индуктивно

Тут еще и коммутативность нужна - иначе результат будет зависеть от выбора $c$. Если есть только ассоциативность - придется требовать упорядоченности от $I$, и брать индексы по порядку.

[arseniiv]

Ой. Вот. Помнил и забыл. Спасибо. Вот если на $I$ есть линейный порядок, тогда коммутативность не нужна.