Подробный рызбор темы математических норм

[maki]

Здравствуйте, для начала небольшой, но в каком то роде важный оффтоп:

(Оффтоп)

Несмотря на заголовок, здесь будет не разъяснения темы с моей стороны, а просьба ее разъяснить. Однако при удачном разборе задачи, я думаю её можно будет перенести в соответствующий раздел. Так как лично я еще не находил подробного и детального разъяснения данной темы в интернете.

А теперь к моей проблеме. Третий день уже пытаюсь разобраться c вроде бы простой, но для не осведомленного человека (по типу меня) почти невыполнимой задачей.
Я не математик по профессии, но в курсе университета присутствует функциональный анализ и от него никуда не деться.

Поэтому если вы заметите абсолютное непонимание мной каких либо основ или базовых вещей, или мои собственные решения и выводы покажутся вам глупыми и смешными, то попрошу не акцентировать внимание на этом. Некоторым людям действительно трудно бывает самому разобраться даже в таких казалось бы простых вещах. Я прочитал достаточно литературы на эту тему, в частности определения, теоремы и методички на экциклопедических сайтах (к примеру википедия) и некоторых форумах, а также учебник по функциональному анализу Треногина В.А. (именно его советовал преподаватель, чтобы можно было разобраться в теме). Но проблема кроется в том, что я не понимаю как все это взаимосвязано.

Если у вас возникнут сомнения знаю ли я определения или что либо еще, спросите и я отвечу все что знаю по вопросу, но писать всё в заглавном сообщении я считаю слишком долгим занятием, текст и так вышел громоздким. Прошу отнестись с пониманием, спасибо.
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
В чем собственно суть..

Дана задача: Проверить является ли нормой функция $f(u)=|u(a)|$ в пространстве $C$$[a,b]$

В принципе я разобрался с алгоритмом решения задачи - проверить будут ли верны неравенства аксиомы:

1) $||A||\geqslant0$
2) $||\alpha \cdot A||=|\alpha|\cdot||A||$
3) $||A+B||\leqslant||A||+||B||$

А также с тем, что нормой является сама функция $f(u)=|u(a)| \Leftrightarrow ||A||$, но вот понять что и как не получается, а посему прошу ответов
(по возможности максимально развернутых с пояснениями, так как данные в учебниках или на сайтах мне не очень помогли в понимании, очень хочется разобраться в сути темы):

1) Во первых, что же все таки из себя представляет норма (в данной задаче в частности)?
Я знаю из определения что это функционал (то есть функция на произвольном множестве, поправьте если я ошибаюсь) заданный на векторном пространстве (то есть эта функция представляющая из себя некую линию плавает где то в пространстве? Как я себе по крайней мере это представляю) и обобщающий понятие длины вектора и абсолютного значения числа. Я выделил последнюю часть которую не понял практически.. вообще. Надеюсь на разъяснение.

2) Что значит оператор $ A $ и какую роль он играет в определении нормы $||A||$?

3) Для проверки нормы нужно всего лишь проверить функцию на аксиомы норм, но:

3.1) Какую роль в этом выполняет пространство $C[a,b]$ и что оно из себя представляет?

3.2) Что означает знак "$\alpha$" во второй аксиоме? Откуда мы берем его значение? Подставляем ли мы его в аксиому или он остается "любым значением"? Для чего он нужен?

3.3) Опять же вторая аксиома. В левой части находится "$\alpha$" и "$A$" внутри знака нормы одновременно: $||\alpha \cdot A||$
Для проверки аксиомы нужно подставить за место нормы $A$ функцию $f(u)=|u(a)|$
И по моему должно получиться(но меня одолевают сомнения): $|\alpha|u(a)|| = |\alpha| \cdot |u(a)|$ верно ли это или же нет? Почему?

3.4) Теперь же третья аксиома, после вашего объяснения по поводу п.3.3 я думаю разберусь в том, каким образом под знак нормы подставляются не один член, а несколько "$||\alpha \cdot A||$"
Но тут проблема в "$B$". Откуда оно взялось, что означает и как оно будет выглядеть если подставить его в данной задаче?
Как понимаю вид будет если подставить таким: $||u(a)|+B| \leqslant |u(a)| + ||B||$ ? Опять же верно или нет и почему?

4) Также хотелось бы знать что из себя представляет данная функция в пространстве. Из того что я читал, получается что $f(u)=|u(a)|$ - вектор в нормированном пространстве $C$.
Так ли это?

Итак, это примерно все вопросы, если появятся еще, то я буду их задавать по ходу дискуссии в комментариях. Но я постарался задеть все непонятные мне аспекты.
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Теперь же мои попытки разобраться в задаче.
Мне понятна основная суть этих аксиом и как они в принципе работают(для чего они нужны если будет угодно). Поэтому я попытался решить хоть что либо:

1) $||A|| \geqslant 0$. Проверяем: подставляя вместо нормы $||A||$ - нашу функцию $f(u)$.
$|u(a)| \geqslant 0$ - неравенство действительно по причине того, что модуль числа не может быть отрицательным.
1 аксиома соответствует.

2) $||\alpha \cdot A|| = |\alpha| \cdot ||A||$ Проверяем: подставляем и получаем: $|\alpha|u(a)|| = |\alpha| \cdot |u(a)|$
2 аксиома тоже соответствует, так как отрицательное число умноженное под знаком модуля на другое число в итоге будет положительным:$|-\alpha \cdot A| = \alpha|A| = \alpha \cdot A$
Также $|-\alpha|\cdot |u(a)| = \alpha|u(a)| = \alpha u(a)$

3) $||A+B|| \leqslant ||A||+||B||$ Опять же проверяем: подставляем и получаем $||u(a)|+B| \leqslant |u(a)| + ||B||$
Вот тут уже у меня возникла проблема, так как я не знаю что в данном случае является нормой $||B||$, то и не знаю будет ли верно неравенство. Ведь если предположить что это опять же абсолютно любое число, то тогда в зависимости будет оно положительным или отрицательным, результат изменится, так как если предположим что $||B||=-B$, то число под модулем слева может после раскрытия модуля быть большим, чем число справа, к примеру если мы подставим числа 1 и -2
$|1 - 2| \leqslant 1 - 2$

Исходя из того что сделал я, то все зависит от аргумента $B$ в третьей аксиоме, если она будет положительна, то функция будет являться нормой, если же нет, то не будет.
Все что мне пришло в голову я изложил в этом сообщении, но если понадобятся дополнения, то я всегда готов помочь вам помочь мне

[Mikhail_K]

Буду отвечать по частям.

maki в сообщении #1220432 писал(а):

1) $||A||\geqslant0$
2) $||\alpha \cdot A||=|\alpha|\cdot||A||$
3) $||A+B||\leqslant||A||+||B||$

Сразу первое: аксиомы именно эти, но записаны они странно. И эта странная запись уже ввела Вас в заблуждение, судя по вопросу

maki в сообщении #1220432 писал(а):

Что значит оператор $ A $ и какую роль он играет в определении нормы $||A||$?

Никакого оператора $A$ здесь нет. Поставьте вместо букв $A$ и $B$ буквы $x$ и $y$, или буквы $u$ и $v$ - разницы нет, какие обозначения использовать.
Вас интересует норма элемента в пространстве $C[a,b]$, а вовсе не норма оператора.
Другое дело, что есть и такое понятие, как норма оператора, и она обозначается точно так же: $\|A\|$ - но это не то, что Вам нужно.

-- 31.05.2017, 12:41 --

maki в сообщении #1220432 писал(а):

Я знаю из определения что это функционал (то есть функция на произвольном множестве, поправьте если я ошибаюсь) заданный на векторном пространстве (то есть эта функция представляющая из себя некую линию плавает где то в пространстве? Как я себе по крайней мере это представляю) и обобщающий понятие длины вектора и абсолютного значения числа. Я выделил последнюю часть которую не понял практически.. вообще. Надеюсь на разъяснение.

Про "линию, плавающую в пространстве" - абсолютно нет, непонятно откуда Вы это взяли.
Давайте вначале рассмотрим норму в конечномерном векторном пространстве $\mathbb{R}^n$.
Это пространство состоит из всевозможных векторов вида $x=(x_1,\dots,x_n)$, у каждого из которых $n$ координат.
Например, при $n=2$ это плоскость (у векторов на плоскости две координаты), при $n=3$ это трёхмерное пространство.
Так вот, длина вектора является нормой в $\mathbb{R}^n$.
Почему длина вектора - это функционал? Потому что это правило, сопоставляющее каждому объекту из $\mathbb{R}^n$ (т.е. вектору) определённое число (его длину). Функционал - это когда мы каждому объекту из некоторого множества ставим в соответствие число.
Ну и аксиомы нормы будут для длины вектора выполняться.

А перед тем как пойти дальше, найдите ответ на свой вопрос 3.1: что такое пространство $C[a,b]$?
Вот пространство $\mathbb{R}^n$ состоит из всевозможных векторов с $n$ координатами. А из каких объектов состоит $C[a,b]$?

[maki]

(Оффтоп)

Mikhail_K в сообщении #1220438 писал(а):

Буду отвечать по частям.

maki в сообщении #1220432 писал(а):

1) $||A||\geqslant0$
2) $||\alpha \cdot A||=|\alpha|\cdot||A||$
3) $||A+B||\leqslant||A||+||B||$

Сразу первое: аксиомы именно эти, но записаны они странно. И эта странная запись уже ввела Вас в заблуждение, судя по вопросу

maki в сообщении #1220432 писал(а):

Что значит оператор $ A $ и какую роль он играет в определении нормы $||A||$?

Никакого оператора $A$ здесь нет. Поставьте вместо букв $A$ и $B$ буквы $x$ и $y$, или буквы $u$ и $v$ - разницы нет, какие обозначения использовать.
Вас интересует норма элемента в пространстве $C[a,b]$, а вовсе не норма оператора.
Другое дело, что есть и такое понятие, как норма оператора, и она обозначается точно так же: $\|A\|$ - но это не то, что Вам нужно.

-- 31.05.2017, 12:41 --

maki в сообщении #1220432 писал(а):

Я знаю из определения что это функционал (то есть функция на произвольном множестве, поправьте если я ошибаюсь) заданный на векторном пространстве (то есть эта функция представляющая из себя некую линию плавает где то в пространстве? Как я себе по крайней мере это представляю) и обобщающий понятие длины вектора и абсолютного значения числа. Я выделил последнюю часть которую не понял практически.. вообще. Надеюсь на разъяснение.

Про "линию, плавающую в пространстве" - абсолютно нет, непонятно откуда Вы это взяли.
Давайте вначале рассмотрим норму в конечномерном векторном пространстве $\mathbb{R}^n$.
Это пространство состоит из всевозможных векторов вида $x=(x_1,\dots,x_n)$, у каждого из которых $n$ координат.
Например, при $n=2$ это плоскость (у векторов на плоскости две координаты), при $n=3$ это трёхмерное пространство.
Так вот, длина вектора является нормой в $\mathbb{R}^n$.
Почему длина вектора - это функционал? Потому что это правило, сопоставляющее каждому объекту из $\mathbb{R}^n$ (т.е. вектору) определённое число (его длину). Функционал - это когда мы каждому объекту из некоторого множества ставим в соответствие число.
Ну и аксиомы нормы будут для длины вектора выполняться.

А перед тем как пойти дальше, найдите ответ на свой вопрос 3.1: что такое пространство $C[a,b]$?
Вот пространство $\mathbb{R}^n$ состоит из всевозможных векторов с $n$ координатами. А из каких объектов состоит $C[a,b]$?

Да, во первых в пространстве $C[a,b]$, не сразу заметил опечатку, спасибо, уже исправил.
Во вторых эти аксиомы я взял из учебника и википедии в определении нормированного пространства. Если я не верно понял или нашел не то что нужно, напишите пожалуйста как выглядят правильные аксиомы.

По поводу $A$ и $B$. То есть раз это просто обозначения норм элементов пространства $\mathbb{R}^n$, то как в данном случае вместо $A$ мы подставляем функцию $f(u)$, которая обозначает длину вектора как я понимаю, так и вместо $B$ можно подставить любое число? Просто если так, то получается что число $B$ будет всегда положительным? Длина ведь отрицательной быть не может. (Сейчас речь идет только лишь о пространстве векторов).

Несмотря на вопрос выше, чтобы не забегать далеко вперед для начала отвечу на 3.1:
В самой задаче ничего об этом не сказано, но могу предположить исходя из прочитанного мною, что скорее всего это пространство непрерывных функций.

[Mikhail_K]

maki в сообщении #1220473 писал(а):

Во вторых эти аксиомы я взял из учебника и википедии в определении нормированного пространства. Если я не верно понял или нашел не то что нужно, напишите пожалуйста как выглядят правильные аксиомы.

Я уже сказал, что аксиомы правильные, просто записаны странным образом. Буквами $A$, $B$ обычно обозначают операторы, а здесь речь не о них, а об элементах пространства.
Запись в Википедии (https://ru.wikipedia.org/wiki/Нормированное_пространство) мне нравится больше.

maki в сообщении #1220473 писал(а):

В самой задаче ничего об этом не сказано, но могу предположить исходя из прочитанного мною, что скорее всего это пространство непрерывных функций.

Есть такое правило: не нужно приступать к решению задачи, если Вы не знаете или не уверены, что означает хотя бы одно из использованных в условии этой задачи обозначений. Здесь надо не предполагать, а смотреть в учебник.
Вы правы, это пространство непрерывных функций на отрезке $[a,b]$.
То есть каждый элемент этого пространства - функция.
А норму мы берём как раз от элементов пространства. Если мы берём норму (стандартную) от вектора в конечномерном пространстве, то это будет его длина (хотя существуют и нормы, не равные длине в обычном смысле).
В данной задаче у нас пространство $C[a,b]$, поэтому мы будем брать норму от непрерывных функций на отрезке $[a,b]$ (и это будет уже не длина, а что-то иное; у функций нет длины). Это завершает ответ на Ваш вопрос 3.1.

maki в сообщении #1220473 писал(а):

По поводу $A$ и $B$. То есть раз это просто обозначения норм элементов пространства $\mathbb{R}^n$ (а раз норма - это длина вектора, то по идее у него есть конкретное числовое значение?), то как в данном случае вместо $A$ мы подставляем функцию $f(u)$, которая обозначает длину вектора как я понимаю, так и вместо $B$ можно подставить любое число?

К сожалению, у Вас наблюдается огромного размера путаница, которую непонятно как распутывать. Боюсь, что несколькими сообщениями на форуме её не распутать.
Скажите, проходили ли Вы линейную алгебру например? По идее, она должна идти перед функциональным анализом.
Могу посоветовать почитать книги В.Босса: вначале том "Линейная алгебра", затем том "Функциональный анализ".
Может быть, это поможет привести мысли и знания в порядок.

[Lia]

maki в сообщении #1220432 писал(а):

1) Во первых, что же все таки из себя представляет норма (в данной задаче в частности)?

Что по этому поводу пишет учебник?

maki в сообщении #1220432 писал(а):

2) Что значит оператор $ A $ и какую роль он играет в определении нормы $||A||$?

Что по этому поводу пишет учебник?

maki в сообщении #1220432 писал(а):

3.1) Какую роль в этом выполняет пространство $C[a,b]$ и что оно из себя представляет?

Что по этому поводу пишет учебник?

Ну и так далее. Вас в первой Вашей теме попросили сперва прочитать именно учебник. А потом уже спрашивать.

Тема закрыта как фактически дублирующая тему из Карантина. При необходимости темы могут быть объединены. В данный момент я такой необходимости не вижу.

Читайте учебник и потихоньку оформляйте тему в Карантине.