Задача Дирихле

[Sicker]

svv
Т.е. по сути мы не можем решить нормально задачу.

-- 17.04.2017, 02:32 --

Кажись светает.

-- 17.04.2017, 02:36 --

Red_Herring в сообщении #1210004 писал(а):

Я не знаю, что Вы имеете в виду, но как правило, решение дается сингулярным интегралом и важны не только длина/площадь/объем зоны, но и тип сингулярности. Посмотрите например асимптотику $\iiint (x^2+y^2+z^2 + h^2)^{-p}\,dxdydz$ при $h\to 0$

Я понял, там же площадь области первой зоны Френеля пропорциональна обратной длине волны, а функция Грина будет пропорциональна волновому вектору (из-за взятия производной), или обратной длине волны, так что получаем не бесконечно малое значение. И т.к. еще берем удвоение от фундаментального решения, которое сокращается с половиной, которая половина первой зоны Френеля.

[svv]

Нормально, т.е., имея граничное условие только на функцию, либо только на производную, записать решение в виде интеграла с известной подинтегральной функцией? Да, так не можем.

Последовательность действий может быть такой. Дана задача Дирихле для уравнения Гельмгольца. На границе известно значение $\psi(y)$, но не его нормальной производной. Представляем $\psi(x)$ в виде потенциала двойного слоя с неизвестной плотностью $g(y)$. Для нахождения $g(y)$ используем интегральное уравнение. Теперь можно подставить его в интегральное представление и найти $\psi$ в произвольной точке области $x$.

[Sicker]

Кстати, для внешней задачи можно задать и функцию и ее нормальную производную.

svv в сообщении #1210083 писал(а):

Для нахождения $g(y)$ используем интегральное уравнение.

Можно поподробнее.

-- 17.04.2017, 02:52 --

Я понял что потенциал двойного слоя это не функция Грина, да?

-- 17.04.2017, 02:54 --

А как решить это интегральное уравнение?

[Red_Herring]

Sicker в сообщении #1210085 писал(а):

А как решить это интегральное уравнение?

Ну, например, методом последовательных приближений.

[svv]

Если $\psi(x)$ удовлетворяет уравнению Гельмгольца и на границе $\psi(x)=f(x)$, то для плотности потенциала $g(y)$ справедливо интегральное уравнение
$g(x)\pm 2\int\limits_S g(y)\frac{\partial G(x-y)}{\partial n(y)} dS = \pm 2f(x)$,
где $G(x-y)=\frac{e^{ik|x-y|}}{4\pi|x-y|}$, а знаки зависят от того, внешняя или внутренняя задача Дирихле решается.

[Sicker]

А откуда вы его взяли?

[Vince Diesel]

Это называется формула скачка для потенциала двойного слоя. Посмотрите Колтон Д., Кресс Р. "Методы интегральных уравнений в теории рассеяния". В том числе там есть решение краевых задач с помощью интегральных уравнений. В частности, в $\S3.4$ есть эта формула для уравнения Гельмгольца.

[Sicker]

Red_Herring
svv
А вот если мы рассмотрим полубесконечное пространство, то, используя тот интеграл из книги, мы можем задать значения поля и его нормальных производных на плоскости, а нулевое поле на бесконечности получится автоматом из-за убывающих функций $\frac{1}{r}$ и $\frac{1}{r^2}$. Т.е. у нас переизбыток граничных условий, все должно было однозначно определяется из задания значения функции на плоскости и в бесконечности.

[Red_Herring]

Sicker в сообщении #1219584 писал(а):

о, используя тот интеграл из книги, мы можем задать значения поля и его нормальных производных на плоскости

Глупости. Тот интеграл дает решение только в том случае, когда "значение поля и его нормальных производных на плоскости" совместимы.

[Sicker]

Red_Herring в сообщении #1219592 писал(а):

Глупости. Тот интеграл дает решение только в том случае, когда "значение поля и его нормальных производных на плоскости" совместимы.

Ну так мы можем задать независимо значения поля и его производных на плоской поверхности, и будет однозначное решение задачи с учетом того интеграла. И вот выходит, что значения поля на бесконечности выходят нулевыми, т.е. задав значения поля на плоскости и на бесконечности мы можем варьировать производные на поверхности. В чем подвох?
Просто интеграл с ядром $\frac{1}{r^2}$ даст поле с нулевыми производными.

[Red_Herring]

Sicker в сообщении #1219902 писал(а):

Ну так мы можем задать независимо значения поля и его производных на плоской поверхности

Не можем.

[Sicker]

Хорошо, а верно ли тогда, что при нулевых условиях на бесконечности у нас нормальные производные на поверхности будут равны 0? Это следует из первого интеграла.

[Red_Herring]

Sicker в сообщении #1219925 писал(а):

Хорошо, а верно ли тогда, что при нулевых условиях на бесконечности у нас нормальные производные на поверхности будут равны 0? Это следует из первого интеграла.

Нет. Прежде всего, если область полупространство, то решение задачи Дирихле или Неймана можно найти методом отражения: нечетного (соответственно четного). Если, скажем, область $\{(x,y,z)\colon x>0\}$, то функция Грина будет $G_{D,N} (x,y,z;x',y',z')= G (x-x',y-y',z-z') \mp G(-x-x',y-y',z-z')$, где "просто" G это для всего пространства.

Во, вторых, оператор DtN (Dirichlet-to-Neumann) в этом случае очень прост: пусть $\varphi=u|_{x=0}, \psi=u_x|_{x=0}$, тогда $\psi =- F^*\sqrt{\eta^2+\zeta^2}F\phi$, где $F$ преобразование Фурье $(y,z)\to (\eta,\zeta)$.

[Sicker]

Хорошо, а функция Грина задачи Дирихле будет равна тому интегралу, содержащем значения функции на плоскости, умноженный на два?

[Red_Herring]

Нет, функция Грина вообще не интеграл, $G(x,y,z)=-\frac{1}{4\pi r}$