Построение бифуркационной диаграммы

[chudizm]

Задали построить бифуркационную диаграмму для системы с двумя параметрами:
$ \begin{equation*} \begin{cases} \dot{x} = (x + a)(x - y);\\ \dot{y} = (y - b)(y + x); \end{cases} \end{equation*} $
Я начал аналитически искать состояния равновесия -- получил 4 точки: $(0;0), (-a;a), (-a;b), (b;b)$

Далее я начал находить для каждой точки лямбды, чтобы определить, при каких значениях параметров a, b какие состояния равновесия получаются. Проблема заключается в точке $(-a; b)$. Лямбда в этой точке получается чисто комплексной

$ \begin{equation*} \lambda^2-2a\lambda+a^2-b^2=0\\ D=4a^2-4a^2-4b^2 = -4b^2 < 0\\ \lambda_1_,_2 = \frac{-2a \pm \sqrt{-4b^2}}{2} = -a \pm ib \end{equation*} $

, а это значит, что в этой точке состояния равновесия могут быть только "Центр", "Неустойчивый фокус" и "Устойчивый фокус":

НФ
$ a < 0$
УФ
$ a > 0$
Ц
$ a = 0$

Вот только при построении фазового портрета получается постоянно Седло. Я где-то неправильно рассуждал? (остальные точки получаются правильно)

[Grabovskiy]

Седло и получается, Вы неправильно записали характеристический полином

[chudizm]

Grabovskiy в сообщении #1217835 писал(а):

Седло и получается, Вы неправильно записали характеристический полином

вот я тормоз

Спасибо большое

[Someone]

chudizm в сообщении #1217834 писал(а):

Лямбда в этой точке получается чисто комплексной

\begin{equation*} \lambda^2-2a\lambda+a^2-b^2=0\\ D=4a^2-4a^2-4b^2 = -4b^2 < 0\\ \lambda_1_,_2 = \frac{-2a \pm \sqrt{-4b^2}}{2} = -a \pm ib \end{equation*}

Нет термина "чисто комплексный", есть термин "чисто мнимый". Корни $a\pm bi$ являются чисто мнимыми, только если $a=0$.

P.S. 1) Формула, заключённая в знаки доллара $...$, должна помещаться в одной строке, иначе парсер форума её не распознаёт.
2) Окружение equation* не нужно окружать знаками доллара, но нужно заключить в тег [mаth]...[/mаth] (знаки доллара, которые могут появиться автоматически, лучше удалить). Это относится и ко многим другим окружениям, используемым для записи формул.

[chudizm]

Someone в сообщении #1217848 писал(а):

chudizm в сообщении #1217834 писал(а):

Лямбда в этой точке получается чисто комплексной

\begin{equation*} \lambda^2-2a\lambda+a^2-b^2=0\\ D=4a^2-4a^2-4b^2 = -4b^2 < 0\\ \lambda_1_,_2 = \frac{-2a \pm \sqrt{-4b^2}}{2} = -a \pm ib \end{equation*}

Нет термина "чисто комплексный", есть термин "чисто мнимый". Корни $a\pm bi$ являются чисто мнимыми, только если $a=0$.

P.S. 1) Формула, заключённая в знаки доллара $...$, должна помещаться в одной строке, иначе парсер форума её не распознаёт.
2) Окружение equation* не нужно окружать знаками доллара, но нужно заключить в тег [mаth]...[/mаth] (знаки доллара, которые могут появиться автоматически, лучше удалить). Это относится и ко многим другим окружениям, используемым для записи формул.

спасибо за замечания, на латехе ничего до сегодняшнего дня не писал

[DeBill]

chudizm
1.При вычислении дискриминанта - арифметическая ошибка.
2. Ох как я ругаю студентов, когда они ищут собственные значения ДИАГОНАЛЬНОЙ матрицы, считая хар. многочлен, и решая затем квадратное уравнение $(-a-b - \lambda)(-a+b- \lambda) = 0$, ОТКРЫВАЯ скобки (с ошибкой - знак перед $2a \lambda$ - не тот), и еще ошибаясь в дискриминанте...
3. А еще, кроме седла, может быть и узел в этой точке
4. Да и в точке $(0,0)$ много случаев. ..
5. А еще при $a=b$ и $a+b=0$ - седлоузлы!
6. А про $a=b=0$ я вааще молчу!!
Ну и неслабая у Вас задачка! Это что, курсовая?