Расчёт мощности привода, вращающего тело вокруг своей оси

[gr1111]

Помогите, пожалуйста, решить задачу, чтобы подобрать привод c подходящим крутящим моментом



Привод, ось вращения которого перпендикулярна горизонтальной плоскости, вращает планку длиной 30 см. На краю планки закреплён груз массой 10 кг. Диаметр вала привода 2 см.
Необходимо найти, каким минимальным крутящим моментом должен обладать привод, чтобы за 0.2 секунды раскрутить планку с грузом до скорости 0.5 оборота в секунду?

То есть у нас есть следующие данные:
$ R = 0.3 $

$ m = 10 $

$ r = 0.01 $

$ t = 0.2 $

$ w = 3.14 $



DimaM, спасибо. Привожу своё решение:

$ M = J \varepsilon $

$ J = m R^2 $

$ \varepsilon = \dfrac{d\omega}{dt} = \dfrac{\omega}{t} $

$ M = m R^2 \cdot \dfrac{\omega}{t} = 10 \cdot 0.3^2 \cdot \dfrac{3.14}{0.2} = 14.13 $

То есть привод должен иметь как минимум 14.13 Н*м крутящего момента. Правильно ли я понимаю, что диаметр вала не имеет здесь значения? Но если бы мы его всё-таки учли, мы бы получили касательную силу, приложив которую к валу, мы бы раскрутили планку в соответствии с заданными условиями (на деле эта величина была бы равна 14.13 разделенными на радиус вала => 1413 Н).
Верно ли я всё понял, скажите, пожалуйста?

[DimaM]

gr1111
Вычислите потребное угловое ускорение и момент инерции системы для начала.

Эти величины связаны с моментом силы выражением, очень похожим на второй закон Ньютона.

[photon]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

[gr1111]

DimaM, спасибо. Привожу своё решение:

$ M = J \varepsilon $

$ J = m R^2 $

$ \varepsilon = \dfrac{d\omega}{dt} = \dfrac{\omega}{t} $

$ M = m R^2 \cdot \dfrac{\omega}{t} = 10 \cdot 0.3^2 \cdot \dfrac{3.14}{0.2} = 14.13 $

То есть привод должен иметь как минимум 14.13 Н*м крутящего момента. Правильно ли я понимаю, что диаметр вала не имеет здесь значения? Но если бы мы его всё-таки учли, мы бы получили касательную силу, приложив которую к валу, мы бы раскрутили планку в соответствии с заданными условиями (на деле эта величина была бы равна 14.13 разделенными на радиус вала => 1413 Н).
Верно ли я всё понял, скажите, пожалуйста?




Также прошу подтвердить правильность решения чуть усложнённой задачи.

Если привод имеет разные характеристики крутящего момента в зависимости от скорости (например, при 300 оборотах в минуту он может дать 100 Н м; при 600 - 50 Н м; при 900 - 25 Н м), то для оптимизации динамичности(более быстрого выхода на номинальную скорость, а также быстрого торможения) имеет смысл изменять угловое ускорение в зависимости от скорости (от больших ускорений на низких оборотах до малых ускорений на высоких оборотах).
Имеем такие задачи:
1. Каким минимальным крутящим моментом должен обладать привод, чтобы за 0.05 секунды раскрутить планку с грузом до скорости 0.16 об/с?
2. Каким минимальным крутящим моментом должен обладать привод, чтобы за 0.07 секунды раскрутить планку с грузом со скорости 0.16 об/с до скорости 0.33 об/с?
3. Каким минимальным крутящим моментом должен обладать привод, чтобы за 0.09 секунды раскрутить планку с грузом со скорости 0.33 об/с до скорости 0.5 об/с?
Также необходимо найти углы, на которые отклонится планка при каждом из ускорений.

$ R = 0.3 $

$ m = 10 $

$ t1 = 0.05 $

$ t2 = 0.07 $

$ t3 = 0.09 $

$ \omega1 = 1.05 $

$ \omega2 = 2.09 $

$ \omega3 = 3.14 $


Решение:

$ M = J \varepsilon $

$ J = m R^2 $

$ \varepsilon = \dfrac{d\omega}{dt} = \dfrac{\omega}{t} $

$ M1 = m R^2 \cdot \dfrac{\omega1}{t1} = 10 \cdot 0.3^2 \cdot \dfrac{1.05}{0.05} = 18.9 $

$ M2 = m R^2 \cdot \dfrac{\omega2 - \omega1}{t2} = 10 \cdot 0.3^2 \cdot \dfrac{2.09 - 1.05}{0.07} = 13.37 $

$ M3 = m R^2 \cdot \dfrac{\omega3 - \omega2}{t3} = 10 \cdot 0.3^2 \cdot \dfrac{3.14 - 2.09}{0.09} = 10.5 $


Углы (в градусах):
$ a1 = \dfrac{\omega1}{2} \cdot t1 \cdot 57,29 = \dfrac{1.05}{2} \cdot 0.05 \cdot 57,29 = 1.5 $

$ a2 = (\omega1 + \dfrac{\omega2 - \omega1}{2}) \cdot t2 \cdot 57,29 = (1.05 + \dfrac{2.09 - 1.05}{2}) \cdot 0.07 \cdot 57,29 = 6.3 $

$ a3 = (\omega2 + \dfrac{\omega3 - \omega2}{2}) \cdot t3 \cdot 57,29 = (2.09 + \dfrac{3.14 - 2.09}{2}) \cdot 0.09 \cdot 57,29 = 13.48 $


То есть получается, чтобы привод за 0.07 секунды мог разогнать планку со скорости 0.16 об/с до скорости 0.33 об/с, ему потребуется 13.37 Н м крутящего момента. За время этого разгона планка отклонится на 6.3 градуса.
Абсолютно те же самые числа справедливы и для замедления, то есть со скорости 0.33 об/с до 0.16 об/с за 0.07 секунды потребуются те же 13.37 Н м.

Скажите, пожалуйста, правильно ли это всё посчитано?

[DimaM]

gr1111 в сообщении #1218549 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что диаметр вала не имеет здесь значения?

Правильно.

gr1111 в сообщении #1218549 писал(а):

Скажите, пожалуйста, правильно ли это всё посчитано?

В буквах вроде правильно, числа подставлять я не стал.

(Оффтоп)

Вы определитесь, использовать точку или запятую в качестве десятичного разделителя. Если все же запятую, то ее нужно окружать фигурными скобками. А нижние индексы делаются так t_1. Получается $t_1$.

[gr1111]

DimaM , спасибо


Буду благодарен, если поможете с решением ещё чуть усложнённой задачи (мне вот ещё бы только с этим разобраться, и была бы полная картина)


В итоге конструкция будет выглядеть примерно так



То есть Мотор1 вращает Планку1(длина 0.2 м, масса 2 кг), на конце которой закреплён Мотор2(масса 2 кг), который вращает Планку2(длина 0.1 м, масса 1 кг), с закреплённым на её конце Грузом(масса 3 кг).

Необходимо найти каким крутящим моментом должен обладать Мотор2, чтобы при ускорениях/замедлениях(до/со скорости 0.5 об/с за 0.2 с), производимых Мотором1, Планка2 с Грузом оставалась неподвижной. То есть, если Мотор2 будет совсем слабый, то он не удержит Планку2, - она будет гулять вслед за инерцией(когда Мотор1 будет вращать Планку1).


имеем следующие данные:

(Оффтоп)

$R_p_1 = 0.2$

$m_p_1 = 2$

$R_m_2 = 0.2$

$m_m_2 = 2$

$R_p_2 = 0.25$ (так то радиус края Планки2 - 0.3, но, чтобы использовать $J = mR^2$, можно, как я понимаю, просто взять центр этого тела)

$m_p_2 = 1$

$R_g = 0.3$

$R_g_(_2_) = 0.1$ (радиус относительно оси Мотора2)

$m_g = 3$

$t = 0.2$

$\omega = 3.14$


Решение:
(Меня в основном терзают сомнения, моменты инерции каких тел(во время работы Мотора1) будут влиять в итоге на вал Мотора2; кажется, что только Планки2 и Груза)

$ J\varepsilon = F r $

$ F = \dfrac{J\varepsilon}{r} $

$ J = \sum\limits_{}^{} J_i $

$ J_i = m R^2 $

$ \varepsilon = \dfrac{d\omega}{dt} = \dfrac{\omega}{t} $


$ J_p_2 = m R^2 = 1 \cdot 0.25^2 = 0.06 $

$ J_g = m R^2 = 3 \cdot 0.3^2 = 0.27 $

$ J = J_p_2 + J_g = 0.06 + 0.27 = 0.33 $




$ F = \dfrac{J \cdot \dfrac{\omega}{t}}{R_g} = \dfrac{0.33 \cdot \dfrac{3.14}{0.2}}{0.3} = 17.27 $ (17.27 Н - сила, которая "образуется" у Груза)

$ M = FR_g_(_2_) = 17.27 \cdot 0.1 = 1.73 $ (1.73 Н м - крутящий момент, который будет передан на вал Мотора2)


Соответственно, Мотор2 должен обладать как минимум 1.73 Н м крутящего момента, чтобы удерживать Планку2 при ускорениях/замедлениях Мотора1.
В общем, я не уверен в кол-ве моментов инерции и в последних действиях тоже не совсем (так ли просто передаются эти силы). Буду очень благодарен за ваш комментарий.