Нахождение радиуса сходимости

[loser228]

Дан, скажем, вот такой ряд $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$. Требуется найти его радиус сходимости. Для этого нужно вычислить $\overline{\lim\limits_{n\to\infty}}\sqrt[n]{a_n}$, ну и далее взять обратную величину . Но здесь только при $n=2k+1$ коэффициенты ненулевые. Значит искать предел имеет смысл лишь среди $a_{2k+1}$. То есть ищем $\lim\limits_{k\to\infty}\sqrt[2k+1]{a_{2k+1}} $, так . или же в последнем выражении корень должен быть $k$-ой степени ?

[Someone]

В какой степени $x$, такой степени и корень.

[mihaild]

$\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{2n + 1} = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n} \cdot \mathbb{I}(n = 2k+1)$. Последнее выражение - уже совсем обычный степенной ряд.

[Brukvalub]

loser228 в сообщении #1216242 писал(а):

Для этого нужно вычислить $\overline{\lim\limits_{n\to\infty}}\sqrt[n]{a_n}$

В общем случае нужно брать модуль коэффициента.

[ewert]

loser228 в сообщении #1216242 писал(а):

Значит искать предел имеет смысл лишь среди $a_{2k+1}$.

Это правда, но это нужно формально обосновывать.

[loser228]

Нам ведь нужен верхний предел последовательности, то есть наибольший из всех частичных. Если $n=2k$, то $a_{n}=0$, $\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_{n}}=0. Так как при $n=2k+1$ $a_n>0, \sqrt[n]{a_{n}}>0, то предел будет $\geqslant 0$. Следовательно, наибольшим может быть предел только в последнем случае

[ewert]

loser228 в сообщении #1216289 писал(а):

то предел будет $\geqslant 0$. Следовательно, наибольшим может быть предел только в последнем случае

Пока что не следовательно. Вам ведь нужен наибольший из всех возможных частичных пределов. А Вы пока что рассмотрели лишь две подпоследовательности.

Вообще здесь лучше отталкиваться не от частичных пределов, а от исходного определения верхнего предела.

[loser228]

А как тогда все подпоследовательности учесть ?

[ewert]

А вот и не надо все, вообще не надо пока подпоследовательностей. Что такое верхний предел по определению?

[loser228]

Верхний предел - наибольший частичный предел последовательности.

[Brukvalub]

Верхний предел можно посчитать как

$$\lim\limits_{n\to\infty}\sup\limits_{k>n}a_k.$$

[ewert]

loser228 в сообщении #1216298 писал(а):

Верхний предел - наибольший частичный предел последовательности.

А вот это -- плохое определение верхнего предела. И данная задачка хорошо это иллюстрирует.

Но плохое оно и само по себе, как определение. Поскольку в нём неявно подразумевается, что супремум частичных пределов -- тоже частичный предел. Между тем это -- некоторая теорема.

[loser228]

Я помню, что факт принадлежности супремума к множеству частичных пределов требует отдельного доказательства (оно приводилось в книжке Кудрявцева и Фихтенгольца). А какое же хорошее определение ? (в упомянутых выше книжках приведено именно то, что я выше написал)

[ewert]

loser228 в сообщении #1216303 писал(а):

А какое же хорошее определение ?

Brukvalub в сообщении #1216299 писал(а):

$$\lim\limits_{n\to\infty}\sup\limits_{k>n}a_k.$$

[loser228]

А как им пользоваться не совсем понятно