Количество простых на участке

[kthxbye]

Имеется следующий ряд:

$1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{6}-\frac{1}{5}+\frac{1}{10}+\frac{1}{15}-\frac{1}{30}...$

То бишь:

$1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{2\cdot3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{2\cdot5}+\frac{1}{3\cdot5}-\frac{1}{2\cdot3\cdot5}...$

Какое продолжение он будет иметь?

1) $...-\frac{1}{7}+\frac{1}{2\cdot7}+\frac{1}{3\cdot7}+\frac{1}{5\cdot7}-\frac{1}{2\cdot3\cdot5\cdot7}...$
2) $...-\frac{1}{7}+\frac{1}{2\cdot7}+\frac{1}{3\cdot7}+\frac{1}{5\cdot7}-\frac{1}{2\cdot3\cdot7}-\frac{1}{3\cdot5\cdot7}-\frac{1}{2\cdot5\cdot7}+\frac{1}{2\cdot3\cdot5\cdot7}...$

Оба предположения интуитивны. Более склоняюсь ко второму, т.к. в итоге ряд будет иметь вид:

$(1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{6})-\frac{1}{5}(1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{6})-\frac{1}{7}((1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{6})-\frac{1}{5}(1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{6}))...$

Как все это связано с количеством простых на участке от 1 до $n$? Результат ряда умножается на $n$? К какому значению он в итоге стремится?

[Brukvalub]

kthxbye в сообщении #1214985 писал(а):

Как все это связано с количеством простых на участке от 1 до $n$? Результат ряда умножается на $n$?

У рядов нет результатов. Вы полагаете себя достаточно продвинутым в математике, чтобы, написАв любую глупость, считать, что вы "сформулировали математическую проблему", которую все кинутся решать?

[ИСН]

Если имеется ряд, про который известны только первые члены, то про него ничего не известно. Продолжение он может иметь какое угодно. Второй вариант эстетически привлекательнее, потому что сворачивается в произведение $\left(1-{1\over2}\right)\left(1-{1\over3}\right)\left(1-{1\over5}\right)\dots$ Множителей в нём столько, сколько простых на участке или whatever. Результат ряда (что бы это ни значило) умножается на $n$, если его кто-то зачем-то сочтёт нужным умножить на $n$, а если нет - нет. Стремится ряд к значению 0.

[kotenok gav]

Похоже что этот ряд равен единице минус обратные ко всем простым плюс обратные ко всем полупростым и т. д.

[kthxbye]

Brukvalub, у меня две беды - поверхностные знания и неумение корректно формулировать вопросы. Прошу как минимум простить.

Вчера гугл привел меня вот в эту тему, где nn910 ссылается на Квант:

nn910 писал(а):

В очень старом "Кванте"(60е-70е гг)была такая:
$\pi(N) = N-[\dfrac{N}{2}]-[\dfrac{N}{3}]+[\dfrac{N}{2*3}]-[\dfrac{N}{5}]+[\dfrac{N}{2*5}]+[\dfrac{N}{3*5}]-[\dfrac{N}{2*3*5}]...$
Только статья даже не на тему"К-во простых" а про "Формулу включений и исключений"

Захотелось понять, почему ряд имеет именно такой вид, какое у него будет продолжение и к чему он будет стремиться.

[Brukvalub]

kthxbye в сообщении #1215027 писал(а):

Захотелось понять, почему ряд имеет именно такой вид, какое у него будет продолжение и к чему он будет стремиться.

Как только знаменатель превысит числитель, все последующие слагаемые занулятся, поэтому этот формальный ряд на самом деле не ряд, а конечная сумма.

[Sonic86]

kthxbye в сообщении #1215027 писал(а):

Захотелось понять, почему ряд имеет именно такой вид, какое у него будет продолжение и к чему он будет стремиться.

Это прямое следствие решета Эратосфена и формулы включений-исключений - там получаются, естественно, не только первые члены ряда, но и вообще сразу все. Только не хватает еще члена с $\pi(\sqrt{N})$. Т.е. получаться будет то ли $\pi(N)-\pi(\sqrt{N})$, то ли $\pi(N)-\pi(\sqrt{N})+1$, уже не помню точно.
Об этом и многом другом очень подробно и понятно можно узнать, скачав бесплатно из интернетов книжку Бухштаба по теории чисел. Ну а можно и самому вывести формулу.

[Aritaborian]

kthxbye в сообщении #1214985 писал(а):

Результат ряда

kotenok gav в сообщении #1215002 писал(а):

ряд равен

Где ж вас таких убогих учили, интересно.

[Karan]

Aritaborian, замечание за хамство.