Показать, что любое конечное целостное кольцо является полем

[jiffy]

Не могу доказать коммутативность по умножению.
С нахождением обратного (по умножению) элемента проблем нет.

Ведь не всякое же целостное кольцо является коммутативным?..

Пока ничего кроме невнятной цепочки рассуждений не получилось:

Кольцо конечно, значит выполняется условие обрыва убывающих цепей: всякая последовательность вложенных идеалов стабилизируется, значит кольцо артиново.
Утверждение из википедии: "Артинова область целостности является полем" (доказать это тоже не могу).

[Lia]

jiffy
Приведите определение целостного кольца, пожалуйста.

[jiffy]

Lia в сообщении #1214332 писал(а):

jiffy
Приведите определение целостного кольца, пожалуйста.

кольцо с единицей по умножению (1) и без делителей нуля.

[Lia]

Неа. Слов не хватает. Посмотрите внимательней.

[Padawan]

В Алгебре Ван-дер-Вардена сказано, что целостное кольцо - это коммутативное кольцо без делителей нуля. В учебниках Кострикина и Винберга еще добавляется требование наличия единицы.

[jiffy]

Padawan в сообщении #1214349 писал(а):

В Алгебре Ван-дер-Вардена сказано, что целостное кольцо - это коммутативное кольцо без делителей нуля. В учебниках Кострикина и Винберга еще добавляется требование наличия единицы.

спасибо.

[Lia]

(Оффтоп)

jiffy в сообщении #1214330 писал(а):

Утверждение из википедии: "Артинова область целостности является полем" (доказать это тоже не могу).

Кстати, в Википедии, откуда Вы приводите это утверждение, слово "коммутативное" стоит чуть ли не первым. Интересно, как Вам удалось пройти мимо него?
Вопрос риторический, если что. Меня всегда занимала избирательность человеческого восприятия.

[Xaositect]

Для некоммутативных конечных колец это тоже верно, но это малая теорема Веддерберна, в качестве упражнения вряд ли пойдет.

[jiffy]

Lia в сообщении #1214358 писал(а):

jiffy в сообщении #1214330 писал(а):

Утверждение из википедии: "Артинова область целостности является полем" (доказать это тоже не могу).

Кстати, в Википедии, откуда Вы приводите это утверждение, слово "коммутативное" стоит чуть ли не первым. Интересно, как Вам удалось пройти мимо него?
Вопрос риторический, если что. Меня всегда занимала избирательность человеческого восприятия.

Не, ну, если интересно, расскажу.
В книжке Кострикина в определении "просто кольца" для умножения определяется только ассоцитивность, даже единицы по умножению там нет, умножение там -- полугруппа. Довольно часто единицу вводят сразу в определение для мультипликативной полугруппы кольца; глядя в википедию, я подумал, что коммутативность из этой же серии, а к целостности относится только отсутствие делителей нуля. Как-то так. Невнимательно определение в Кострикине прочитал.

[Someone]

jiffy в сообщении #1214411 писал(а):

В книжке Кострикина в определении "просто кольца" для умножения определяется только ассоцитивность

А у А. Г. Куроша вообще никаких условий на умножение нет, кроме дистрибутивности (два равенства).

[AV_77]

jiffy в сообщении #1214330 писал(а):

Артинова область целостности является полем" (доказать это тоже не могу).

Пусть $R$ - наше кольцо, $a \in R$. Рассмотрим цепочку идеалов $aR \supseteq a^2R \supseteq a^3R \supseteq \ldots$ Так как кольцо артиново, то найдется такое $n$, что $a^nR = a^{n+1}R = \ldots$ Тогда $a^n \in a^{n+1}R$ и значит его можно представить в виде $a^n = a^{n+1}x$ для некоторого $x \in R$.