Помогите придумать функцию

[prozaeck]

Имеется вектор $x$ действительных чисел длиной $N$. $x[i] > x[i-1]$. Можно дополнить условием $x[i] > 0$ если это чем то поможет. Нужно придумать скалярную функцию $f(x)$, монотонно убывающую когда компоненты вектора начинают сбиваться в кучки, число которых по всей видимости придется задавать. Например, $f$ максимальна для вектора 5, 10, 15 , 20, 25, 30. Число кучек зададим две. Для 7, 10, 12.3 , 23, 25, 28 значение $f$ уже меньше, поскольку значения сбиваются в две кучки. Для 10, 10, 10 , 24, 24, 24 значение $f$ равно нулю. Как и для 11, 11, 20 , 20, 20, 20 и многих других вариантов. Я пробовал следующий вариант. Для простоты обозначу разницы соседних компонент буквами

$a=x_2-x_1, b= x_3-x_2, c=x_4-x_3, d=x_5-x_4, e=x_6-x_5$

$f(x) = \frac{ab}{a+b} + \frac{ac}{a+c} + \frac{ad}{a+d} + \frac{ae}{a+e}+ \frac{bc}{b+c} + \frac{bd}{b+d} + \frac{be}{b+e}+ \frac{cd}{c+d} + \frac{ce}{c+e}+ \frac{de}{d+e} $


Функция отлично работает для двух кучек. Для трех кучек нужно уже три умножения $abc/… + abd/… + abd/… + … + acd/… + ace/…$ и т.д. То есть, если $N=8$, для двух кучек число слагаемых равно $6+5+4+3+2+1$. Для трех куч число слагаемых равно $5+4+3+2+1 + 4+3+2+1 + 3+2+1 + 2+1 + 1$

Проблема в том, что $N$ у меня 100 а кучек 30. И число слагаемых будет приблизительно 70 в 30й степени.
Функция используется как стабилизирующий функционал в регуляризации Тихонова. Не знаю на сколько мой вариант удовлетворяет условию выпуклости, но работает как надо. Оптимизация выполняется градиентным методом, поэтому функция должна быть везде дифференцируема.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

Оформите все формулы, пожалуйста.

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);


Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»