Чувствительность к погрешности

[Charlz_Klug]

Пусть $y = \sqrt{2} -1$. Можно написать также $y = (\sqrt{2} + 1)^{-1}$. Какая из двух формул чувствительнее к погрешности при приближённом задании $\sqrt{2}$ в виде конечной десятичной дроби?

Указание. Сравнить модули производных функций $(x-1)$ и $(x+1)^{-1}$.

Я не понял как производные помогут в этом деле. Но ладно, нашёл производные, для $(x-1)$: $y' = 1$ и для $(x+1)^{-1}$: $y' = - \frac {1} {(x+1)^2}$. Получается что для $(x-1)$ влияние погрешности на результат не сильное, а в $(x+1)^{-1}$ влияние сильнее?

[Brukvalub]

Charlz_Klug в сообщении #1210013 писал(а):

Я не понял как производные помогут в этом деле.

Как же тогда вы пришли к выводу:

Charlz_Klug в сообщении #1210013 писал(а):

Получается что для $(x-1)$ влияние погрешности на результат не сильное, а в $(x+1)^{-1}$ влияние сильнее?

Наугад?

[mihaild]

Если при подсчете $\sqrt{2}$ у вас ошибка на $\varepsilon$, то ошибка при подсчете $y$ у вас будет $y^\prime(\sqrt{2}) \cdot \varepsilon + o(\varepsilon)$ ($o$ разные для разных способов подсчета). Возьмите достаточно малое $\varepsilon$, чтобы в обоих случаях было $o(\varepsilon) < \frac{\varepsilon}{10}$. Как теперь можно оценить (сверху и снизу) погрешность первой и второй формул через $\varepsilon$?

[Charlz_Klug]

Brukvalub в сообщении #1210021 писал(а):

Как же тогда вы пришли к выводу:

Charlz_Klug в сообщении #1210013 писал(а):

Получается что для $(x-1)$ влияние погрешности на результат не сильное, а в $(x+1)^{-1}$ влияние сильнее?

Наугад?

Практически наугад. Рассуждал так: для $(x-1)$ пусть $x_{\text{т}}$ --- точное значение $\sqrt{2}$ если внести погрешность $h$ получим $|x_{\text{т}}-1-(x_{\text{т}}+ h -1)| = |h|$. Для $(x+1)^{-1}$ получаем $|\frac {1} {x_{\text{т}}+1} - \frac {1} {x_{\text{т}} + h +1}| = |\frac {h} {(x_{\text{т}}+1)(x_{\text{т}}+h+1)}|$. Если обозначить $x_{\text{т}}+1 = a$, то получим $|\frac {h} {(x_{\text{т}}+1)(x_{\text{т}}+h+1)}| = |\frac {h} {a(a+h)}| = |\frac {1} {\frac {a^2} {h} + a}|$, то есть в этом случае поведение функции будет сильно зависеть от $h$.

-- 17.04.2017, 09:05 --

mihaild, а тут у меня возникает много вопросов: как вы получили $y^\prime(\sqrt{2}) \cdot \varepsilon + o(\varepsilon)$? Что значит "o" малое от $\varepsilon$ и почему именно $o(\varepsilon) < \frac{\varepsilon}{10}$, а не $o(\varepsilon) < \frac{\varepsilon}{2}$ например?

[mihaild]

Charlz_Klug в сообщении #1210106 писал(а):

как вы получили $y^\prime(\sqrt{2}) \cdot \varepsilon + o(\varepsilon)$?

Из определения производной.

Charlz_Klug в сообщении #1210106 писал(а):

Что значит "o" малое от $\varepsilon$

Посмотрите в учебнике, это общепринятое обозначение.

Charlz_Klug в сообщении #1210106 писал(а):

почему именно $o(\varepsilon) < \frac{\varepsilon}{10}$

Потому что это первое пришедшее мне в голову ограничение, с которым нужное рассуждение точно проходит. Можно и что-то другое.

[Charlz_Klug]

Не пойму что надо сделать. Получил для $x-1$: $o(\varepsilon) = 0$, для $\frac {1} {x+1}$: $o(\varepsilon) = \frac {\varepsilon^2} {(\sqrt {2} + 1)^2(\sqrt {2} + 1 + \varepsilon)}$. Потом опять подставил в определение производной и получил: для $x-1$: $\Delta y = \varepsilon$ и для $\frac {1} {x+1}$: $\Delta y = - \frac {1} {\frac {(\sqrt {2} + 1)^2} {\varepsilon} + \sqrt {2} + 1}$. То есть, то же самое, что и при непосредственном подставлении погрешности.

[mihaild]

Ну а теперь сравните, в каком случае погрешность больше (при достаточно малых $\varepsilon$).

Вообще еще надо точно сказать, что значит "формула чувствительнее". Если погрешность одной формулы убывает с уточнением приближения быстрее, чем другой - то какая из них чувствительнее?

[Charlz_Klug]

mihaild в сообщении #1211647 писал(а):

Вообще еще надо точно сказать, что значит "формула чувствительнее". Если погрешность одной формулы убывает с уточнением приближения быстрее, чем другой - то какая из них чувствительнее?

Я думаю что первая формула чувствительнее второй.

[mihaild]

Charlz_Klug в сообщении #1214097 писал(а):

Я думаю что первая формула чувствительнее второй.

А определение "чувствительности к погрешности" где-нибудь в окрестности условия не встречалось? (потому что термин, кажется, не общеупотребительный, и можно привести аргументы в обе стороны)

[Charlz_Klug]

mihaild, в окрестности условия никаких определений не наблюдал. Дальше по тексту приводятся определения погрешностей, но они все сводятся к модулю от разности что должно быть в идеале и что получено в приближении.

[mihaild]

Charlz_Klug, ну тогда вопрос "какая формула чувствительнее" придется отложить до тех пор, пока не будет найдено определение "чувствительности". Пока что придется ограничиться просто сравнением самих погрешностей ответов в зависимости от погрешности при вычислении $\sqrt{2}$.

[Charlz_Klug]

Если взять в качестве $\varepsilon = \frac {\tilde{\varepsilon}} {11}$ то для $x-1$ получаем $\Delta y = \frac {\tilde{\varepsilon}} {11}$, а для $\frac {1} {x+1}$ получаем $\Delta y = \frac {\tilde{\varepsilon}} {(\sqrt{2}+1)(11\sqrt{2}+11+\tilde{\varepsilon})}$. Но $\frac {\tilde{\varepsilon}} {(\sqrt{2}+1)(11\sqrt{2}+11+\tilde{\varepsilon})} < \frac {\tilde{\varepsilon}} {11}$ отсюда делаю вывод что считать способом $\frac {1} {x+1}$ лучше, поскольку расхождение $\Delta y$ получается меньше.