Длина интервала

[geomath]

Подскажите, что считать длиной метрического интервала в общем случае? Интервал в отличие от сегмента не содержит своих концов. В этом проблема, поскольку пар концов может быть не одна, хотя сам интервал вроде бы один. Если же определить длину интервала просто как его диаметр, то длина одноточечного интервала будет нулевой, чего не хотелось бы.

В качестве примера рассмотрим подпространство евклидовой плоскости, состоящее и 5 точек: четыре вершины ромба и его центр. Здесь 10 сегментов и всего один интервал - центр, у которого две пары концов: противоположные вершины ромба. И за длину этого интервала можно было бы принять длину большей диагонали ромба, длину меньшей, что-то среднее или попросту 0. Я не знаю.

[ewert]

geomath в сообщении #1211252 писал(а):

то длина одноточечного интервала будет нулевой, чего не хотелось бы.

Во-первых, там немного меньше, чем одна точка.

Во-вторых: длина -- это мера. А мера пустого множества по аксиоматике нулевая.

geomath в сообщении #1211252 писал(а):

подпространство евклидовой плоскости, состоящее и 5 точек: четыре вершины ромба и его центр. Здесь 10 сегментов и всего один интервал

Здесь нет ни одного ни сегмента, ни интервала. Здесь только точки. Ну и дальше тоже что-то бессмысленное.

[geomath]

ewert в сообщении #1211255 писал(а):

Здесь нет ни одного ни сегмента, ни интервала. Здесь только точки. Ну и дальше тоже что-то бессмысленное.

В метрическом пространстве кроме точек и метрики, действительно, ничего нет, но сегменты и интервалы - "метрические" - определить очень даже можно. Метрический сегмент - это множество тех точек, сумма расстояний от каждой из которых до фиксированных концов данного интервала равна расстоянию между этими концами. Интервал же концы исключает.

В приведенном примере сегментов даже не 10, а 15, если учитывать вырожденные сегменты тоже, причем единственный интервал является одновременно и сегментом. Поэтому он вроде бы должен иметь нулевую длину, но это меня смущает.

[ewert]

geomath в сообщении #1211262 писал(а):

Метрический сегмент - это множество тех точек, сумма расстояний от каждой из которых до фиксированных концов данного интервала

А что такое интервал -- и что такое его концы?

[geomath]

В приведенном примере сегменты - это стороны, диагонали и полудиагонали ромба (без промежуточных точек евклидовой плоскости), ну и вырожденные сегменты тоже - вершины и центр ромба. А интервал всего один - это центр. Но... вроде как и не один один, поскольку его можно определить и через одну диагональ, и через другую, чьи концы - это вершины ромба.

[ewert]

geomath в сообщении #1211271 писал(а):

А интервал всего один

А что такое интервал?

[geomath]

Интервал - это тот же сегмент, но с выброшенными концами. Проблема в том, что сегментов может быть много, а после выбрасывания останется один и тот же интервал, например останется единственная точка. Получается, что интервал определяется своими концами, но не наоборот.

[ewert]

geomath в сообщении #1211279 писал(а):

Получается, что интервал определяется своими концами, но не наоборот.

Вот именно. Это означает, что понятие интервала на абстрактном метрическом пространстве (в отличие от сегмента, хотя и он непонятно зачем нужен) -- вещь неестественная. И уж точно лишено смысла понятие длины интервала (в отличие от сегмента).

[Someone]

Меня вот какой вопрос по этому поводу мучает. Зададим на двумерном арифметическом пространстве $\mathbb R^2$ метрику формулой

$$\rho((x_1,y_1),(x_2,y_2))=\max\{\lvert x_2-x_1\rvert,\lvert y_2-y_1\rvert\}$$

(это, стало быть, расстояние между точками $(x_1,y_1)$ и $(x_2,y_2)$). Что представляют собой интервалы и сегменты в этом случае и какие у них длины?

[geomath]

Someone в сообщении #1211314 писал(а):

Меня вот какой вопрос по этому поводу мучает...

Взял наугад две точки: (1, 1) и (2, 3). И обратился к ВольфрамАльфе. Прямо график я получить не смог, поэтому пришлось задать срезку.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+z%3Dmin(max(%7Cx-1%7C,%7Cy-1%7C)%2Bmax(%7Cx-2%7C,%7Cy-3%7C),3)+where+-1%3Cx%3C4,0%3Cy%3C4

[Someone]

geomath в сообщении #1211378 писал(а):

И обратился к ВольфрамАльфе.

Зачем? Там на школьном уровне всё решается.

Так что за интервалы с сегментами получатся?

[ewert]

Ну, какие-то многоугольники. Может, и прямоугольники -- лень думать. Естественно. Норма же нестрогая. А предложенный "сегмент" в случае нормированного пространства совпадает с общепринятым отрезком тогда и только тогда, когда норма -- строгая.

Тот же эффект будет и для нормы $\|\vec x\|_1=\sum\limits_i|x_i|$. А вот для всех прочих норм $\|\cdot\|_p$ при $p\in(1;\infty)$ понятия "сегмента" и отрезка уже будут совпадать.

[geomath]

Someone в сообщении #1211406 писал(а):

Так что за интервалы с сегментами получатся?

Ну вот же ВольфрамАльфа нарисовал типичный сегмент - прямоугольник в центре. Чем Вам не нравится? И остальные сегменты похожими будут, прямоугольниками или квадратами. А интервалы будут отличаться от них только двумя выкинутыми концами: в нарисованном случае это точки (1, 1) и (2, 3). А если хотите аналитическое выражение, то вот этот прямоугольник.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=max(%7Cx-1%7C,%7Cy-1%7C)%2Bmax(%7Cx-2%7C,%7Cy-3%7C)+%3D+2

[ewert]

geomath в сообщении #1211445 писал(а):

Чем Вам не нравится?

Тем, что непонятно, зачем козе баян, а попу гармонь.

[geomath]

ewert в сообщении #1211447 писал(а):

Тем, что непонятно, зачем козе баян, а попу гармонь.

Поясните, пожалуйста, свою мысль.