Помогите доказать

[Reyg]

Здравствуйте! Помогите доказать, что $\left\lbrace n\alpha\right\rbrace$, где $n\in\mathbb{N}$ и $\alpha$ - иррациональное положительное, всюду плотно во множестве $(0,1)$.

[sa233091]

Для начала покажем, что числом вида $\[na\]$ (где $\[n \in \mathbb{N}\]$ и $\[a\]$
- иррациональное положительное) можно сколь угодно близко приблизиться к натуральному числу (\$[\forall \varepsilon > 0\exists n,a,m \in \mathbb{Z}:0 < na - m < \varepsilon \]$):
Рассмотрим $\[n\]$ чисел $\[a,2a,3a,...,na\]$ их дробная часть попадает в один из $\[(n - 1)\]$ промежутков $\[\left( {0;\frac{1}{{n - 1}}} \right),\left( {\frac{1}{{n - 1}};\frac{2}{{n - 1}}} \right),...,\left( {\frac{{n - 2}}{{n - 1}};1} \right)\]$ Тогда (по принципу Дирихле) найдется два числа, попавших в один и тот же промежуток и тогда их разность (тоже число вида $\[{n_0}a\]$) будит иметь дробную часть в промежутке $\[\left( {0;\frac{1}{{n - 1}}} \right)\]$ и (с увеличением $\[n\]$) этот промежуток можно сколь угодно сузить, а значит мы можем сколь угодно точно приблизиться к натуральному числу числами вида $\[an\]$. Несложно доказать, что из возможности сколь угодно точно приблизиться к натуральному следует возможность сколь угодно точно приблизиться к рациональному числу, но т.к. множество рациональных всюду плотно, то и множество всех чисел $\[an\]$ тоже всюду плотно.

[Cash]

sa233091, ваше представление о помощи идет вразрез с правилами форума.

[Deggial]

sa233091, предупреждение за полное решение простой учебной задачи.

[Someone]

Предложенное решение содержит ошибки.

[sa233091]

Someone в сообщении #1211243 писал(а):

Предложенное решение содержит ошибки.

А какие? Я просто сам не очень разбираюсь в этой теме, подскажите пожалуйста.

[ewert]

sa233091 в сообщении #1211245 писал(а):

А какие?

Во-первых, скобки слишком круглы. Во-вторых: а где использована иррациональность альфы?...

Reyg в сообщении #1211223 писал(а):

$\left\lbrace n\alpha\right\rbrace$, где $n\in\mathbb{N}$ и $\alpha$ - иррациональное положительное, всюду плотно во множестве $(0,1)$.

Неправильная запись: поскольку первое слово "множество" отсутствует, фигурные скобки именно его и заменяют.

[Someone]

Reyg, ваше первое сообщение первый же модератор, его увидевший, сразу же снёс бы в Карантин, поскольку начисто отсутствуют какие-либо попытки самостоятельного решения. Модератор, очевидно, не успел это сделать. Но ещё не вечер, и если вместо попыток решения мы увидим слёзные мольбы написать готовое решение, то тема точно поедет в Карантин.

[sa233091]

ewert в сообщении #1211248 писал(а):

Во-первых, скобки слишком круглы

Скобки круглые потому, что $\[a\]$ - иррационально

-- 21.04.2017, 13:10 --

ewert в сообщении #1211248 писал(а):

Во-вторых: а где использована иррациональность альфы?...

Я бы хотел пояснить тот переход, что скрыл за словами

sa233091 в сообщении #1211234 писал(а):

Несложно доказать, что из возможности сколь угодно точно приблизиться к натуральному следует возможность сколь угодно точно приблизиться к рациональному числу

Покажем, что для любого $\[\varepsilon > 0\]$ и любого рационального $\[x \in \left( {0;1} \right)\]$ найдется число вида $\[an\]$ такое , что $\[0 < an - x < \varepsilon \]$.
Мы знаем, что

sa233091 в сообщении #1211234 писал(а):

$[\forall \varepsilon > 0\exists n,a,m \in \mathbb{Z}:0 < na - m < \varepsilon \]$

Домножим неравенство на $ \[\frac{x}{m}\]$:
$\[n\left( {a \cdot \frac{x}{m}} \right) - x < \varepsilon \left( {\frac{x}{m}} \right) < \varepsilon \]$
Заметим, что $\[a \cdot \frac{x}{m}\]$ число иррациональное, а значит $\[n\left( {a \cdot \frac{x}{m}} \right)\]$ - число вида $\[an\]$

-- 21.04.2017, 13:23 --

Reyg в сообщении #1211223 писал(а):

Помогите доказать, что $\left\lbrace n\alpha\right\rbrace$, где $n\in\mathbb{N}$ и $\alpha$ - иррациональное положительное, всюду плотно во множестве $(0,1)$.

А вообще зачем здесь $\[n\]$? Разве в условии говорится не об обычной плотности множества иррациональных чисел?

[Human]

sa233091 в сообщении #1211259 писал(а):

А вообще зачем здесь $\[n\]$? Разве в условии говорится не об обычной плотности множества иррациональных чисел?

Исходная формулировка задачи действительно весьма туманна и ее нужно уточнять, но я скорее склонен считать, что $\alpha$ фиксировано и задано (например, $\sqrt2$), а фигурными скобками здесь обозначено не множество, а дробная часть числа $n\alpha$. То есть, задача состоит в том, чтобы доказать, что последовательность дробных частей чисел вида $n\alpha$ всюду плотна на $(0;1)$. В таком виде это уже более-менее содержательная задача.

В общем, нужно ждать, пока ТС сам не поправит условие так, чтобы оно стало корректным и читалось однозначно.

[sa233091]

Human в сообщении #1211310 писал(а):

Исходная формулировка задачи действительно весьма туманна и ее нужно уточнять, но я скорее склонен считать, что $\alpha$ фиксировано и задано (например, $\sqrt2$), а фигурными скобками здесь обозначено не множество, а дробная часть числа $n\alpha$. То есть, задача состоит в том, чтобы доказать, что последовательность дробных частей чисел вида $n\alpha$ всюду плотна на $(0;1)$. В таком виде это уже более-менее содержательная задача.

Да, я с вами согласен

-- 21.04.2017, 18:51 --

Впрочем тогда задачу можно решить все тем-же принципом Дирихле (который, надо заметить, часто фигурирует в подобного рода задачах). Но я думаю не следует приводить решение (учусь на собственных ошибках) и я лишь намекну ТС, что здесь также уместна идея возможности сколь угодно точно приблизить 0

[ewert]

Human в сообщении #1211310 писал(а):

а фигурными скобками здесь обозначено не множество, а дробная часть числа $n\alpha$.

Здесь фигурными скобками обозначено одновременно и то, и другое. Что неприлично. Но не более прилично было бы и ставить двойные фигурные скобки. В общем, весьма неудачная запись.

Что, впрочем, никак не влияет на недвусмысленность самой постановки вопроса. Это ведь стандартная даже и не задача, а теорема. И тут на форуме она уже многократно обсасывалась.