2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4
 
 Re: Определение вещественного числа
Сообщение19.04.2017, 07:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/12/05
3444
mihaild в сообщении #1210593 писал(а):
Brukvalub в сообщении #1210569 писал(а):
Есть. Кажется, оно написано в учебнике Л.И. Камынина.
Там ссылка непонятно куда. (а еще неправильное определение - забыта архимедовость)

Ничего не забыто. Архимедовость является следствием других аксиом, ниже она сформулирована в виде теоремы. Аксиома полноты у Камынина - существование у каждого непустого ограниченного сверху множества точной верхней грани.

-- Ср апр 19, 2017 10:28:07 --

Под полнотой еще часто подразумевают теорему о том, что каждая фундаментальная последовательность имеет предел, эквивалентно - принцип Кантора о вложенных отрезках. Тогда архмедовость надо дополнительно постулировать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение вещественного числа
Сообщение19.04.2017, 12:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14
1260
Про все эти отношения аксиом есть хорошая методическая статья: Real analysis in reverse.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение вещественного числа
Сообщение19.04.2017, 13:44 
Аватара пользователя


16/03/17
123
kp9r4d в сообщении #1210728 писал(а):
Про все эти отношения аксиом есть хорошая методическая статья: Real analysis in reverse.

Спасибо за ссылку, с первого взгляда интересно, почитаю.

Кстати, насчет отношений между определениями, аксиомами, теоремами и прочим. Я всегда удивлялся, почему их (почти никогда) не изображают графами и блок-схемами:
- Такие-то определения/понятия - так выстраиваются по степени общности на лестнице абстракций (простой пример попытался привести словами в post1210671.html#p1210671, но там все слишком просто, в более запутанных случаях это полезнее).
- Такие-то определения/аксиомы - основной аргумент (способ доказательства) в таких-то теоремах.
- Такие-то аксиомы/теоремы эквиваленты между собой.
- Такие-то теоремы так между собой связаны
- Такие-то примеры относятся к таким-то понятиям или теоремам (иногда сразу к нескольким, объединяя их между собой)
и т.д.

Когда я, уже довольно давно, учил что-то - всегда старался изобразить подобные схемы и связи. Благодаря этому все понималось гораздо лучше, а значит и запоминалось, становилось "своим". Конечно, не всегда это было строго, но оставшиеся детали легко восстанавливались. В мозгу же хранятся не длинные доказательства или многоэтажные формулы с кучей букв и индексов, а простые идеи, структуры, связи и картинки, примерно как на подобных схемах с основными идеями.

В каком-то смысле это близко к идеям и диаграммам в теории категорий :) В данном случае эти диаграммы скорее на понятийном поле определений, аксиом, лемм и теорем, но иногда такие связи между разными структурами близки по смыслу к функторам между категориями.

Допустим авторы учебников могут предпочитать более формальные изложения "без картинок" (или неявно подразумевая активную работу читателей с самостоятельным осознанием схем и связей, или боясь впасть в вульгаризацию и излишнее упрощение), но уж в методических пособиях можно не стесняться этого. Или у математиков есть какие-то негласные правила и ограничения по этому поводу? Или я вообще удивляюсь зря и это только для меня было полезно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение вещественного числа
Сообщение19.04.2017, 15:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
62606
Odysseus в сообщении #1210741 писал(а):
Я всегда удивлялся, почему их (почти никогда) не изображают графами и блок-схемами:
- Такие-то определения/понятия - так выстраиваются по степени общности на лестнице абстракций

В Википедии это есть.

В некоторых случаях графы получились бы слишком запутанными, чтобы их изображать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение вещественного числа
Сообщение19.04.2017, 15:32 
Аватара пользователя


16/03/17
123
Munin Я вроде иногда встречал, но мне кажется это бывает редко, и это только один из примеров графов-схем, про которые я говорили. А можете привести примеры, которые вам запомнились?

Про запутанные графы - я как раз и говорил про упрощения. Разумеется, не всегда все можно изобразить абсолютно корректно и во всех деталях, речь идет только про главные идеи и связи. (Грубая аналогия: когда частично-упорядоченное множество показывается в виде графа, то, обычно, показываются только связи между ближайшими элементами, а не все связи, которые существуют согласно транзитивности отношения порядка.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение вещественного числа
Сообщение19.04.2017, 17:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
62606
https://en.wikipedia.org/wiki/Field_(mathematics)#Related_algebraic_structures (табличка)
https://en.wikipedia.org/wiki/Ring_(mathematics)#Domains (последняя строчка параграфа)

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение вещественного числа
Сообщение19.04.2017, 18:19 
Аватара пользователя


16/03/17
123
Munin, спасибо. Да, это простые и не очень показательные случаи, примерно то, что я упоминал в post1210671.html#p1210671

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение вещественного числа
Сообщение19.04.2017, 18:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
62606
Я видел и чего-то покрасивее, но навскидку не нашёл.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение вещественного числа
Сообщение19.04.2017, 21:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14
1260
Odysseus
Я тоже графы и таблички люблю очень. В ncatlab есть много подобных табличек, но, зачастую, не между конкретными конструкциями, а между идеями и концепциями, например:
двойственность между алгеброй и геометрией в физике
соответствие между мат. формализмами и физическими теориями
классификация геометрий в духе эрлагенской программы
ну там много чего подобного можно найти.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение вещественного числа
Сообщение19.04.2017, 21:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
62606
kp9r4d в сообщении #1210866 писал(а):
двойственность между алгеброй и геометрией в физике

Правда, это всё не физика :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение вещественного числа
Сообщение19.04.2017, 21:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14
1260
Может быть, я просто переписал заголовок.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение вещественного числа
Сообщение20.04.2017, 09:28 
Аватара пользователя


16/03/17
123
kp9r4d Спасибо. Да, это хороший пример глобальных отношений и диаграмм между разными теориями, т.е. это как раз близко к "функторам между категориями". Но я еще люблю и графы-диаграммы-таблички "внутри категории", и даже внутри "объектов категорий" в смысле связей между отдельными понятиями, аксиомами, леммами, теоремами и т.д. внутри данной теории, еще до выстраивания аналогий между ей и другими теориями. Что-то в стиле статьи на которую вы сослались выше, "более тонкое разбиение" и углубление в более мелкие детали.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 57 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: svv


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group