Корабль, убегающий от прожектора

[svv]

Да, минимальная скорость та же. Траектория та же (с точностью до поворота вокруг центра на некоторый угол).

-- Ср апр 19, 2017 17:06:09 --

А, я Вас понял. Ну да, пуская лодку вспять, мы должны и луч заставить вертеться в обратном направлении.

[Sender]

sa233091 в сообщении #1210786 писал(а):

А не случится ли так, что если срезать путь по кривой, то мы встретимся с прожектором до прибытия в спасательный круг?

Допустим, у нас внутри опасного кольца между двумя некоторыми точками есть криволинейный участок траектории и спрямляющий его прямолинейный. Луч прожектора заметает их оба за одно и то же время, поэтому если лодка не успевает пройти прямолинейный участок до полного заметания его прожектором, то она тем более не успеет пройти и соответствующий криволинейный, т.к. его длина больше.

[sa233091]

svv в сообщении #1210792 писал(а):

sa233091 в сообщении #1210786 писал(а):

А почему? Можете строго пояснить?

Докажите (или скажите, что это очевидно), что, как бы ни плыла первая лодка после пересечения окружности, вторая при «правильной игре» гарантированно сможет удалиться от острова на большее расстояние, чем первая.

А почему тогда теже рассуждения не работают внутри спасательного круга?

[EUgeneUS]

Sender в сообщении #1210767 писал(а):

Кстати, оптимальной траекторией внутри безопасной окружности (если минимизировать время до центра) будет полуокружность вдвое меньшего радиуса.

Нет. Это будет спираль. Витки спирали тем плотнее, чем дальше от центра.

Оптимальная траектория: действительно бежать по касательной к безопасному кругу, добравшись до него - по спирали к центру.
Это легко доказывается, если справлюсь с латехом - приведу в след. сообщении.
Так как расстояния между витками увеличивается к центру, то время будет конечным.

Сама минимальная скорость - да, вычисляется только численно, там формулы вид, как привел:

DeBill в сообщении #1210739 писал(а):

Но увы нам и ах - полученное уравнение (типа $\varphi + 2\pi =\tg \varphi , \cos \varphi = \frac{V}{\omega}$) решить моно токо численно..

Только тут какие-то проблемы с размерностью (видимо, радиус действия прожектора принят в безразмерную единицу )

[svv]

sa233091 в сообщении #1210800 писал(а):

А почему тогда теже рассуждения не работают внутри спасательного круга?

Утверждение останется верным, если взять радиус «контрольной» окружности (которую в разное время пересекают две лодки) и меньше $a$. Просто нам сейчас этот случай неинтересен, ведь мы обосновываем уравнение движения при $r>a$.

[EUgeneUS]

"Безопасная окружность" - двигаясь по ней корабль может убегать от луча прожектора, когда луч находится сразу за кораблем. Попав на неё корабль, когда луч догнал его, корабль может двигаться только по ней. Если корабль чуть ближе к острову, то может к нему приближаться.

Обозначения:
$R$ - радиус действия радара
$R_1$ - радиус круга, куда вообще может попасть корабль, двигаясь со скоростью $V$ за время $T$
$R_2 = \frac{V}{\omega}$ - радиус безопасной окружности (1)

Нарисуем три окружности\круга:
радиусом $R$ вокруг острова - область действия прожектора.
радиусом $R_2$ вокруг острова - безопасная область.
радиусом $R_1$ вокруг какой-нибудь точки на первой окружности

$R_1 = VT = \frac{V}{\omega} (2\pi + \varphi)$ (2)

$\varphi$ - угол, на который "доворачивает" прожектор, когда догнал (почти) корабль

Первое, очевидное решение - это когда вторая и третья окружности касаются. $R = R_1 + R_2$, $\varphi = 0$. Но будет ли скорость корабля при этом минимальна?
Другие решения - когда окружности пересекаются. Из теоремы косинусов запишем для них:

$ R_1^2 = R_2^2 + R^2 - 2RR_2\cos\varphi$
Используя (1) и (2), и введя обозначение $a=\frac{R\omega}{V}$ получаем:

$(2\pi + \varphi)^2 = 1 + a^2 - 2a\cos\varphi$ (3)

Так как нам надо найти минимум скорости, то это будет экстремальным значением скорости, а значит $a$ тоже будет принимать экстремальное значение. Возьмем производную (3) по $\varphi$, и используя, что производная $a$ по $\varphi$ - ноль в силу экстремальности $a$. Получаем:

$a\sin\varphi = 2\pi + \varphi$
Вспоминая (2), получаем:
$R_1 = R \sin\varphi$
А такое может быть только, если угол между $R_1$ и $R_2$ - прямой, а значит пришли к безопасной окружности по касательной.

[sa233091]

Sender в сообщении #1210798 писал(а):

sa233091 в сообщении #1210786 писал(а):

А не случится ли так, что если срезать путь по кривой, то мы встретимся с прожектором до прибытия в спасательный круг?

Допустим, у нас внутри опасного кольца между двумя некоторыми точками есть криволинейный участок траектории и спрямляющий его прямолинейный. Луч прожектора заметает их оба за одно и то же время, поэтому если лодка не успевает пройти прямолинейный участок до полного заметания его прожектором, то она тем более не успеет пройти и соответствующий криволинейный, т.к. его длина больше.

Получается, что выше рассуждение работает и внутри спасательного круга, а значит оптимальный путь - по радиусу?

[EUgeneUS]

sa233091 в сообщении #1210814 писал(а):

Получается, что выше рассуждение работает и внутри спасательного круга, а значит оптимальный путь - по радиусу?

Нет же. Если мы находимся на спасательной окружности и луч нас почти догнал, то единственный вариант - убегать по кругу, так как модуль скорости ограничен, и весь его нужно "тратить" на тангенциальную скорость.

[sa233091]

То есть если я правильно понял идею svv, то ее можно переработать следующим образом:
Пусть мы в данный момент находимся на расстоянии $\[r\]$ от острова и хотим приблизиться к нему на расстояние $\[\Delta r\]$ и при этом "выгадать" как можно больше, то есть увеличить угол между нами и прожектором как можно больше.
Тогда, считая $\[\Delta r\]$ бесконечно малым, можем считать нашу траекторию прямолинейной и путь $\[\Delta S\]$ - отрезком.
Отсюда по т. косинусов имеем:
$\[\Delta S = \sqrt {{{(r + \Delta r)}^2} + {r^2} - 2r(r + \Delta r)\cos a} \]$
(где $\[a\]$ - угол на который мы откланяемся относительно острова)
Значит прожектор отклоняется на угол
$\[{a_0} = v\Delta t\]$
$\[\Delta t = \frac{{\Delta S}}{V} = \frac{{\sqrt {{{(r + \Delta r)}^2} + {r^2} - 2r(r + \Delta r)\cos a} }}{V}\]$
Итого надо максимизировать величину $\[a - v\frac{{\sqrt {{{(r + \Delta r)}^2} + {r^2} - 2r(r + \Delta r)\cos a} }}{V}\] $
И уравнение движения принимает вид:
$\[\frac{d}{{da}}\left[ {\Delta S = a - v\frac{{\sqrt {{{(r + \Delta r)}^2} + {r^2} - 2r(r + \Delta r)\cos a} }}{V}} \right] = 0\]$

-- 19.04.2017, 18:51 --

Ой описался:
$\[\frac{d}{{da}}\left[ {a - v\frac{{\sqrt {{{(r + \Delta r)}^2} + {r^2} - 2r(r + \Delta r)\cos a} }}{V}} \right] = 0\]$

[EUgeneUS]

sa233091
Подробно с выкладками не разбирался. Но некоторые замечания.

sa233091 в сообщении #1210820 писал(а):

Пусть мы в данный момент находимся на расстоянии $\[r\]$ от острова и хотим приблизиться к нему на расстояние $\[\Delta r\]$ и при этом "выгадать" как можно больше, то есть увеличить угол между нами и прожектором как можно больше.

Мы не хотим увеличивать угол между нами и лучом прожектора. Мы хотим приплыть на остров.

[sa233091]

EUgeneUS в сообщении #1210823 писал(а):

Мы не хотим увеличивать угол между нами и лучом прожектора. Мы хотим приплыть на остров.

Но я полагаю чем более мы увеличим угол между нами и прожектором приближаясь к острову на одно и тоже расстояние, тем больше у нас шансов приплыть на остров живыми

[svv]

sa233091 в сообщении #1210825 писал(а):

Но я полагаю чем более мы увеличим угол между нами и прожектором приближаясь к острову на одно и тоже расстояние, тем больше у нас шансов приплыть на остров живыми

Я с этим согласен. Я бы только сказал «чем меньше мы позволим уменьшиться», т.к. этот угол в опасной зоне неумолимо уменьшается, увеличить его не в наших силах.

Ключевые слова: приближаясь на одно и то же расстояние. Если один корабль имеет больший угол $\varphi-\varphi_0$, чем второй, но при разных значениях координаты $r$, он не обязательно более успешен.

[EUgeneUS]

sa233091 в сообщении #1210825 писал(а):

увеличим угол между нами и прожектором приближаясь к острову

Увеличивать "угол между нами и прожектором" Вы можете только находясь внутри безопасного круга. А если мы находимся внутри безопасного круга, то как-нибудь, да доберемся.

Задача в другом: у нас есть "запас" угла в $2\pi$, "расходуя его" (и может добавляя еще чуть-чуть) надо добраться до безопасного круга с минимальной скоростью. Проблема в том, что варьируя скорость, мы изменяем и радиус безопасного круга.

[sa233091]

EUgeneUS
Да, я вас понял, но от этого полученное уравнение движения не меняется, мы просто не увеличиваем угол как можно больше, а уменьшаем его как можно меньше (значит расходуем запас наиболее экономно)

-- 19.04.2017, 19:39 --

EUgeneUS в сообщении #1210829 писал(а):

Проблема в том, что варьируя скорость, мы изменяем и радиус безопасного круга.

Но дело в том, что мы для фиксированного значения скорости корабля ищем оптимальную траекторию движения, расходующую запас наиболее экономно и проверяем хватит ли запаса для этой траектории

[EUgeneUS]

sa233091 в сообщении #1210836 писал(а):

для фиксированного значения скорости корабля ищем оптимальную траекторию движения,

Оптимальную в каком смысле? Если скорость больше критической, нас куча траекторий устраивает.