Неравенство с неизвестной в биномиальном коэффициенте

[sar]

Дано: $\binom{t+l-1}{l-1}\geqslant n$. Помогите, пожалуйста, выразить отсюда $t$.

[Brukvalub]

Вряд ли это возможно.

[Евгений Машеров]

При достаточно больших t и l можно попробовать формулу Стирлинга. Но даже найдя так t - надо иметь в виду, что она приближённая, и либо довольствоваться "приближённым неравенством", либо проверить окрестность найденного значения.

[sergei1961]

Что-то можно попробовать, но именно что-то. Например, при $l=2,\ t=n-1$ равенство. Дальше можно попробовать использовать монотонность по $t$ при этом значении l, что-то доказать отталкиваясь от этих значений в некоторой их окрестности. А в общем случае, конечно, и равенства не решить, тем более-неравенства.

[ewert]

Евгений Машеров в сообщении #1209784 писал(а):

При достаточно больших t и l можно попробовать формулу Стирлинга.

Муавра-Лапласа. Вряд ли такая задачка может быть полезна где-нибудь вне теории вероятностей.

[mihiv]

Неравенство можно переписать в виде: $P=(t+l-1)\dots (t+1)\geq n(l-1)!$. Пусть $(t+1)^{l-1}\geq n(l-1)!$, или $t\geq \sqrt [l-1]{n(l-1)!}-1=s_1$. Для этих $t$ и $P> n(l-1)!$
Если же $(t+l-1)^{l-1}< n(l-1)!$ или $t<\sqrt [l-1]{n(l-1)!}-(l-1)=s_2$, то и $P<n(l-1)!.$
Таким образом $P\geq n(l-1)!$ для $t\geq t_0$,где $s_1\geq t_0\geq s_2$ Точное значение $t_0$ можно найти , видимо, только перебором.

[Евгений Машеров]

ewert в сообщении #1209807 писал(а):

Муавра-Лапласа. Вряд ли такая задачка может быть полезна где-нибудь вне теории вероятностей.

Ну, Муавр тоже через Стирлинга выводил. А где может? Комбинаторика, теория информации...
Хотя, конечно, было бы интересно узнать - для чего? Тогда можно и что-то более конкретное советовать.

[sar]

Евгений Машеров в сообщении #1209862 писал(а):

ewert в сообщении #1209807 писал(а):

Хотя, конечно, было бы интересно узнать - для чего? Тогда можно и что-то более конкретное советовать.

Задача звучит так. Необходимо найти число $t$, такое что число его композиций длины $l$ (с разрешенными нулевыми частями) не меньше, чем $n$.

[mihiv]

Если не ошибаюсь, решение неравенства: $t>\left (n(l-1)!\right )^{\frac 1{l-1}}-\dfrac l2$.

[sergei1961]

Фактически это решение полиноминального неравенства $P(t)\geq a$, сразу не верится...

[mihiv]

sergei1961 в сообщении #1210110 писал(а):

Фактически это решение полиноминального неравенства $P(t)\geq a$, сразу не верится...

sergei1961
Да, нашел ошибку. Получилось, лишь $t\geq t_0$, где $t_0\in [(n(l-1)!)^{\frac 1{l-1}}-\frac l2, (n(l-1)!)^{\frac 1{l-1}}-1]$.

[kotenok gav]

Это же тоже самое что и в предыдущем посте!

[mihiv]

kotenok gav в сообщении #1210346 писал(а):

Это же тоже самое что и в предыдущем посте!

Нет, в предыдущем посте $t_0=\lceil (n(l-1)!)^{\frac 1{l-1}}\rceil $, а здесь $t_0$ это некоторое целое число из промежутка $[(n(l-1)!)^{\frac 1{l-1}}-\frac l2, (n(l-1)!)^{\frac 1{l-1}}-1]$.