Существует ли решение?

[Andrey A]

TR63 в сообщении #1210140 писал(а):

$6+7+9=2\cdot11$

В этом примере не выполняется $(b+c)\mid a^2$. Если бы выполнялось, то либо $q$ оказывалось бы составным, либо так: $p=a=b+c\ (=q)$ за исключением примера с тремя двойками, который забракован. Из последнего следует $\gcd (a,b,c)=1$, что противоречит Вашим посылкам. Это не контрпример, а доказательство.

TR63 в сообщении #1210140 писал(а):

тогда можно подумать над Вашим обобщением

Не пробовал, но мне кажется доказать это будет непросто.

[TR63]

Andrey A в сообщении #1210225 писал(а):

не выполняется $(b+c)\mid a^2$. Если бы выполнялось, то либо $q$ оказывалось бы составным

Т.е. правильно я Вас поняла, если выполняется условие $\frac{a^2}{b+c}=\alpha_a$, то $q=\frac{a+b+c}{2}$ будет составным (откуда это следует; это надо доказать; мне этот факт неочевиден; поясните, пожалуйста).

Andrey A в сообщении #1210225 писал(а):

либо: $p=a=b+c\ (=q)$

Здесь понятно.
Наверное, так $q=\frac{a(\alpha_a+a)}{2\alpha_a}$ (а, у меня получилась целая простыня выкладок).
Andrey A, спасибо.

[Andrey A]

Если некоторое простое $p$ делит $(b+c)$ и $(b+c)\mid a^2$, то $p\mid a^2$ и $p\mid a$. Запишем это так:

$$b+c=pk_1$$

$$a=pk_2$$

Все переменные кроме $c$ нечетные. Тогда $q=\dfrac{a+b+c}{2}=p\cdot \dfrac{k_1+k_2}{2}.$ Если хотя бы одно из $k_1,k_2>1$, то $q$ составное. В противном случае $q=p=a=b+c$, откуда $\gcd (a,b,c)=1.$

Ну, Вы догадались, вот и хорошо. А со степенями... не знаю.

[TR63]

Andrey A, всё понятно. Спасибо.
У меня ещё есть одна мысль. Но её надо обдумать детальнее.