Вычислить площадь части сферы, вырезанной цилиндром

[proton4ik]

Здравствуйте!
Помогите довести решение задания до конца:
Вычислить площадь части сферы $x^2+y^2+z^2=4$, вырезанной цилиндром $x^2+y^2-2y=0$.

Кратные интегралы мы ещё не проходили. Но, поискав в учебниках, я нашла формулку для вычисления этой площади: $S=2\iint\limits_{D}{\sqrt {1+(z'_{{\mathbf {x}}})^2+(z'_{{\mathbf {y}}})^2} dxdy$.
Я нашла производные по $ x $ и по $y $, подставила их в интеграл, и вот что у меня получилось: $S=4\iint\limits_{D}{\frac {dxdy}{\sqrt {4-x^2-y^2}}}}$.
Как теперь вычислить этот интеграл? Насколько я понимаю, нужно перейти к полярным координатам? Как тогда расставить пределы в этом интеграле?
Заранее спасибо!

[svv]

$D$ — это область в $\mathbb R^2$. Что она представляет собой в Вашем случае?

[proton4ik]

svv в сообщении #1210164 писал(а):

$D$ — это область в $\mathbb R^2$. Что она представляет собой в Вашем случае?

Если я всё правильно поняла, то область $D $ - это окружность радиусом $1$: $x^2+(y-1)^2=1$.

[svv]

Да, правильно (только круг, а не окружность).
И если мы хотим простых пределов интегрирования, начало полярной системы координат надо брать в центре этого круга — точке $(0, 1)$.
Сможете выразить декартовы координаты $x, y$ через такие полярные? Формулы будут чуточку нестандартные, но думаю, Вы справитесь.

[proton4ik]

svv в сообщении #1210178 писал(а):

Да, правильно (только круг, а не окружность).
И если мы хотим простых пределов интегрирования, начало полярной системы координат надо брать в центре этого круга — точке $(0, 1)$.
Сможете выразить декартовы координаты $x, y$ через такие полярные? Формулы будут чуточку нестандартные, но думаю, Вы справитесь.

$x=r\cos{\varphi}$, $y=r\sin{\varphi}+1$
Так?

[Brukvalub]

Так.

[RIP]

По-моему, лучше перейти в стандартные полярные координаты: там и функция очень простая, и область достаточно простая. В итоге интеграл считается очень просто.

[iifat]

RIP в сообщении #1210297 писал(а):

По-моему, лучше перейти в стандартные полярные координаты

Сомневаюсь, чтоб эти два варианта принципиально различались по сложности.

proton4ik в сообщении #1210189 писал(а):

Так?

Так, только зачем же вы остановились? Продолжайте.

[RIP]

iifat в сообщении #1210301 писал(а):

Сомневаюсь, чтоб эти два варианта принципиально различались по сложности.

Я попробовал. Мне показалось, что для сдвинутых полярных координат интеграл гораздо сложнее получается (после интегрирования по $r$ получается нечто очень страшное, если я не обсчитался).

[svv]

Да, не смещать начало проще. proton4ik, приношу извинения, что направил Вас по ложному пути.

[proton4ik]

С заданием разобралась. Всем огромное за спасибо за помощь!)