Полна ли система функций в пространстве С[1,5]

[Grand.Master]

Здравствуйте! Столкнулся с такой задачей, нужно выяснить доказать, что полна система функций $\{1,x^2,x^4...\}$в пространстве $C[1,5]$, но неполна в $C[-1,2]$

По теореме Вейерштрасса любую непрерывную функцию можно с достаточной степенью приблизить полиномом с вещественными коэффициентами, поэтому по определению система будет полной.
Но как быть со 2 частью не приложу ума(

\

Lia: формулы должны полностью заключаться в доллары. Исправлено.

[mihaild]

Попробуйте для начала сформулировать теорему полностью (и, конечно, никакого "по определению" не будет, раз уж нужна какая-то теорема).

[Brukvalub]

Grand.Master в сообщении #1209213 писал(а):

По теореме Вейерштрасса любую непрерывную функцию можно с достаточной степенью приблизить полиномом с вещественными коэффициентами, поэтому по определению система будет полной.

Это как? Разве $x$ - не одночленный многочлен?

[ewert]

Grand.Master в сообщении #1209213 писал(а):

йерштрасса любую непрерывную функцию можно с достаточной степенью приблизить полиномом с вещественными коэффициентами,

У Вас ведь отнюдь не любые полиномы. Поэтому к теореме Вейерштрасса да, сводится, но лишь если существует замена переменной, переводящая Ваши полиномы в произвольные. Так вот в одном случае такая замена есть (и очевидна), а в другом -- увы.

[Grand.Master]

mihaild в сообщении #1209214 писал(а):

Попробуйте для начала сформулировать теорему полностью (и, конечно, никакого "по определению" не будет, раз уж нужна какая-то теорема).

Пусть f — непрерывная функция, определённая на отрезке $[a,b]$. Тогда для любого $\varepsilon > 0$ существует такой многочлен $p$ с вещественными коэффициентами, что для любого $x$ из $[a,\;b]$ выполнено условие $|f(x)-p(x)|<\varepsilon$.

-- 13.04.2017, 21:34 --

ewert в сообщении #1209239 писал(а):

Grand.Master в сообщении #1209213 писал(а):

йерштрасса любую непрерывную функцию можно с достаточной степенью приблизить полиномом с вещественными коэффициентами,

У Вас ведь отнюдь не любые полиномы. Поэтому к теореме Вейерштрасса да, сводится, но лишь если существует замена переменной, переводящая Ваши полиномы в произвольные. Так вот в одном случае такая замена есть (и очевидна), а в другом -- увы.

Можно как сделать, можно взять правую часть функции ( а нам как раз нужен отрезок справа), сделать из нее четную функцию в левой части, а затем разложить в ряд по косинусам, а сам косинус разложить в ряд Тейлора.А он раскладывается по четным степеням.

-- 13.04.2017, 21:37 --

Brukvalub в сообщении #1209216 писал(а):

Grand.Master в сообщении #1209213 писал(а):

По теореме Вейерштрасса любую непрерывную функцию можно с достаточной степенью приблизить полиномом с вещественными коэффициентами, поэтому по определению система будет полной.

Это как? Разве $x$ - не одночленный многочлен?

Т.к. нам важен лишь отрезок при$ x>0$, то можно$ y=x$, немного преобразить в $y=|x|$ и разложить по косинусам, а затем косинус в ряд тейлора, по четным степеням х.

[Brukvalub]

Grand.Master в сообщении #1209213 писал(а):

Но как быть со 2 частью не приложу ума(

Любая конечная линейная комбинация четных функций будет четной функцией, поэтому....

[Grand.Master]

Brukvalub в сообщении #1209278 писал(а):

Grand.Master в сообщении #1209213 писал(а):

Но как быть со 2 частью не приложу ума(

Любая конечная линейная комбинация четных функций будет четной функцией, поэтому....

Поэтому если взять нечетную функцию, например, синус.То ее никак не сможем задать четной комбинацией многочленов. Но как это красиво доказать?

[Brukvalub]

Если четный многочлен хорошо приближает нечетную функцию справа от нуля, то слева от нуля он автоматически хорошо приближает четное продолжение этой нечетной функции.
Неужели нужно разжевывать столь тривиальные факты?

[mihaild]

Попробуйте хотя бы приблизить $f(x) = x$ хотя бы в точках $\pm 1$ (одновременно) с погрешностью меньше $1$. Что получается?

(Оффтоп)

Рассмотрим пространство $C[-1; 1]$, на нем есть непрерывный оператор $A: (Af(x)) = f(-x)$, и непрерывный оператор $B = E - A$. Множество четных функций в нашем пространстве -
это в точности $B^{-1}(0)$, т.к. $\{0\}$ замкнуто, то четные функции тоже замкнуты - и, следовательно, линейными комбинациями четных функций нельзя приблизить функцию, не являющуюся четной. Осталось: 1) показать, что в $C[-1; 1]$ есть не четные функции; 2) придумать, как перенести результат на $C[-1; 5]$.

[Someone]

Grand.Master в сообщении #1209275 писал(а):

Можно как сделать, можно взять правую часть функции ( а нам как раз нужен отрезок справа), сделать из нее четную функцию в левой части, а затем разложить в ряд по косинусам, а сам косинус разложить в ряд Тейлора.

Фобос и Деймос! Причём тут тригонометрические ряды? Уверены ли Вы, что для функции, непрерывной на отрезке $[1,5]$, тригонометрический ряд сходится к ней равномерно, как это требуется в теореме Вейерштрасса? И вообще, ваша задача существенно проще, чем то, что Вы тут нагородили. Для отрезка $[1,5]$ ваша задача решается простой заменой переменной, как уже упомянул ewert.

[Grand.Master]

Someone в сообщении #1209313 писал(а):

Grand.Master в сообщении #1209275 писал(а):

Можно как сделать, можно взять правую часть функции ( а нам как раз нужен отрезок справа), сделать из нее четную функцию в левой части, а затем разложить в ряд по косинусам, а сам косинус разложить в ряд Тейлора.

Фобос и Деймос! Причём тут тригонометрические ряды? Уверены ли Вы, что для функции, непрерывной на отрезке $[1,5]$, тригонометрический ряд сходится к ней равномерно, как это требуется в теореме Вейерштрасса? И вообще, ваша задача существенно проще, чем то, что Вы тут нагородили. Для отрезка $[1,5]$ ваша задача решается простой заменой переменной, как уже упомянул ewert.

Я не очень понимаю какая замена.. $x^2=x; x^4=x^2$???

[Brukvalub]

Grand.Master в сообщении #1209604 писал(а):

Я не очень понимаю какая замена.. $x^2=x; x^4=x^2$???

Прежде, чем делать замены, попробуйте выучить больше разных букв.

[Grand.Master]

Brukvalub в сообщении #1209605 писал(а):

Grand.Master в сообщении #1209604 писал(а):

Я не очень понимаю какая замена.. $x^2=x; x^4=x^2$???

Прежде, чем делать замены, попробуйте выучить больше разных букв.

Ой, $x^2=t; x^4=t^2$
Опечатка вышла.
верно?

[Brukvalub]

Верно.

[Grand.Master]

Brukvalub в сообщении #1209607 писал(а):

Верно.

И как пояснить, что такая замена имеет место быть?

нужно же как-то объяснить ее..

-- 15.04.2017, 11:58 --

Brukvalub в сообщении #1209607 писал(а):

Верно.

А если система функций состояла не из четных степеней, а из нечетных, можно было б использовать замену? $x=t, x^3=t^2$