Задача на определения поля, кольца.

[timas-cs]

Является ли данная алгебраическая структура полем, кольцом, содержит ли делители нуля?
Множество упорядоченных пар $<a,b>$ с оперрациями сложения и умножения. $a,b \in R $

Для операции $+$

1. Ассоциативность выполняется
   
2. Замкнутость выполняется (суммы любых дейсвительных чисел-действительное число)
   
3. Коммутативность выполняется
   
4. Единичный элемент $<0,0>$
   
5. Обратный элемент $<-a,-b>$

Для операции $\star$-умножения

1. Ассоциативность выполняется
   
2. Замкнутость выполняется
   
3. Коммутативность выполняется (только как это доказать?)
   
4. Единичный элемент $<1,1>$
   
5. Обратный элемент $<\frac{1}{a},\frac{1}{b}>$

Дистрибутивность следует из замкнутости и коммутативности.
То есть получается, что на $R$ это кольцо, а делителя нуля нет?

[Xaositect]

timas-cs в сообщении #1208748 писал(а):

Коммутативность выполняется (только как это доказать?)

А чем это сложнее всего предыдущего?

timas-cs в сообщении #1208748 писал(а):

Обратный элемент $<\frac{1}{a},\frac{1}{b}>$

А что будет, если $a = 0$?

[timas-cs]

Xaositect в сообщении #1208749 писал(а):

А чем это сложнее всего предыдущего?

Достаточно будет написать, что $<a,b> \in R \Rightarrow <b,a> \in R$?

Xaositect в сообщении #1208749 писал(а):

А что будет, если $a = 0$?

Что-то сразу не догадался. Обратного элемента для $\star $ нет?

-- 11.04.2017, 21:37 --

timas-cs в сообщении #1208748 писал(а):

То есть получается, что на $R$ это кольцо, а делителя нуля нет?

В итоге, то, что я случайно неправильно написал, оказалось правильно?

[Munin]

timas-cs в сообщении #1208748 писал(а):

Множество упорядоченных пар $<a,b>$ с оперрациями сложения и умножения. $a,b \in R $

А что это за операции, как они на них определены?

На таком множестве можно определить разные операции сложения и умножения. И такие, что это будет полем. И такие, что это даже кольцом не будет.