2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Методы решения задач с параметрами
Сообщение06.04.2017, 18:02 
Аватара пользователя


26/11/14
754
Всем доброго здравия. Возник вопрос. Рассмотрим кусочно-линейную функцию с параметром: $ y(x,a)= k \left\lvert x-a \right\rvert + \sum\limits_{1}^{N}  k_i \left\lvert x-x_i \right\rvert  $, где: $x_i, k_i, k, N $ - известны и нужно найти локальные экстремумы $ y(x,a) $ при различных значениях параметра $a \in X $ (в предположении, что для $ y(x,a) $ этот экстремум существует). Т.е. что-то вроде частных производных в гладком случае. Часто такие задачи решают графически, а есть ли какие-то общие способы решать такие задачи хотя бы около аналитическими методами, типа как для дифференцируемых функций? Вроде напрашивается метод линейного программирования, может и нет? Натолкните на мысль. Где можно про такое почитать? Или, если это осуществимо в рамках задач линейного программирования, помогите сформулировать постановку этой задачи для запуска симплекс-метода.

 Профиль  
                  
 
 Re: Методы решения задач с параметрами
Сообщение06.04.2017, 18:25 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Такая функция может иметь экстремумы только ... где?
Ну, или где она их заведомо не может иметь?

 Профиль  
                  
 
 Re: Методы решения задач с параметрами
Сообщение06.04.2017, 19:30 
Аватара пользователя


26/11/14
754
svv в сообщении #1207031 писал(а):
Такая функция может иметь экстремумы только ... где?
Ну, или где она их заведомо не может иметь?
Локальные экстремумы только в узлах. Но эти узлы будут двигаться в зависимости от параметра. Перебирая все узлы функции при фиксированном параметре, не сложно найти экстремумы. Но я то хотел найти параметр, при котором функция достигнет экстремума на заданном отрезке. Вопрос возник давно, сейчас не вспомню конкретный пример. Интересует общий подход к таким задачам (с параметрами). Есть ли какие-то общие методы для их решения или это творческое исследование для каждого конкретного примера?

 Профиль  
                  
 
 Re: Методы решения задач с параметрами
Сообщение06.04.2017, 20:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Как обычно: разбить ось на участки знакопостоянства всех подмодульных выражений, раскрыть модули, подсчитать угловые коэффициенты линейных функций. Экстремумы будут в тех узлах, при переходе через которые угловой коэффициент меняет знак.
Зачем здесь линейное программирование? Вы понимаете смысл этого термина?

 Профиль  
                  
 
 Re: Методы решения задач с параметрами
Сообщение07.04.2017, 10:40 
Аватара пользователя


26/11/14
754
Brukvalub в сообщении #1207071 писал(а):
Зачем здесь линейное программирование? Вы понимаете смысл этого термина?
1. Если правильно понимаю, нахождение экстремума целевой функции при заданных ограничениях. Переползая с одной вершины многогранника ограничений (заданного линейными уравнениями/неравенствами) на другой, ищем экстремум целевой линейной функции. Я вот и подумал, что если удастся формализовать задачу нахождения экстремума кусочно-линейной функции, зависящей от параметра (в рамках некоторых ограничений), как задачу ЛП (линейного программирования), то возможно так можно решать задачи с параметром? Но формализовать не осилил. Вот нашел пример из ЕГЭ: Найти все значения $a $, при каждом из которых наименьшее значение функции: $ f(x)=4ax+ \left\lvert x^2-6x+5 \right\rvert $ больше, чем $-24$. Понимаю, что эту можно решить и без ЛП, просто хочу попробовать. Можно эту задачу формализовать как ЛП? Подскажите идею. Функция под модулем - нелинейная, но это сути не меняет.
2. Дело не в ЛП. Я интересуюсь есть ли какие-либо общие методы, не обязательно ЛП, решения такого типа задач?

 Профиль  
                  
 
 Re: Методы решения задач с параметрами
Сообщение07.04.2017, 11:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Stensen в сообщении #1207214 писал(а):
Вот нашел пример из ЕГЭ: Найти все значения $a $, при каждом из которых наименьшее значение функции: $ f(x)=4ax+ \left\lvert x^2-6x+5 \right\rvert $ больше, чем $-24$. Понимаю, что эту можно решить и без ЛП, просто хочу попробовать. Можно эту задачу формализовать как ЛП? Подскажите идею. Функция под модулем - нелинейная, но это сути не меняет.

Предлагаю вам самостоятельно детальнее ознакомиться с разделом математики "линейное программирование", чтобы не писАть глупостей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Методы решения задач с параметрами
Сообщение07.04.2017, 12:52 
Аватара пользователя


26/11/14
754
Brukvalub в сообщении #1207217 писал(а):
Предлагаю вам самостоятельно детальнее ознакомиться с разделом математики "линейное программирование", чтобы не писАть глупостей.

Вы видимо имеете в виду, что ЛП работает с линейными функциями, а у меня под модулем не линейная? Вот нашел другую задачу: Найти наименьшее значение функции: $f(x,m)=\left\lvert 6x+5m+7 \right\rvert+ \left\lvert2x+3m+1 \right\rvert $ и значения $-5 \leqslant x \leqslant 20;  \, -10 \leqslant m \leqslant 20 $ , при которых оно достигается. Такую задачу можно сформулировать как ЛП?

 Профиль  
                  
 
 Re: Методы решения задач с параметрами
Сообщение07.04.2017, 13:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Stensen в сообщении #1207233 писал(а):
Вы видимо имеете в виду, что ЛП работает с линейными функциями, а у меня под модулем не линейная?
По определению задачи линейного программирования все ограничения должны задаваться линейными неравенствами и уравнениями, и целевая функция должна быть линейной функцией. Во всех остальных случаях речь идёт о задаче нелинейного программирования. И изредка встречаются задачи нелинейного программирования, которые можно разными хитрыми способами преобразовать в задачи линейного программирования.
Если Вы для своей задачи такое преобразование придумаете — флаг Вам в руки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Методы решения задач с параметрами
Сообщение07.04.2017, 15:14 
Аватара пользователя


26/11/14
754
Блин,опять мимо. В общем понял, что решать надо нелинейным программированием (НЛП :shock: )

Всем спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Методы решения задач с параметрами
Сообщение07.04.2017, 15:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Stensen в сообщении #1207258 писал(а):
В общем понял, что решать надо нелинейным программированием
Избави бог.

 Профиль  
                  
 
 Re: Методы решения задач с параметрами
Сообщение07.04.2017, 15:30 
Аватара пользователя


26/11/14
754
Someone в сообщении #1207261 писал(а):
Stensen в сообщении #1207258 писал(а):
В общем понял, что решать надо нелинейным программированием
Избави бог.
Я в смысле, что ЛП не подходит. А общий подход пока только:

Brukvalub в сообщении #1207071 писал(а):
Как обычно: разбить ось на участки знакопостоянства всех подмодульных выражений, раскрыть модули, подсчитать угловые коэффициенты линейных функций. Экстремумы будут в тех узлах, при переходе через которые угловой коэффициент меняет знак.

 Профиль  
                  
 
 Re: Методы решения задач с параметрами
Сообщение07.04.2017, 15:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва

(Оффтоп)

Stensen в сообщении #1207258 писал(а):
НЛП
Будьте бдительны! Аббревиатура НЛП обычно используется для обозначения Нейролингвистического Программирования (это когда к бабушке на улице подходит цыганка и заговаривает ее до такого состояния, что бабушка сама ведет цыганку домой и отдает ей свои "гробовые")
Так что не советую вам использовать НЛП.

 Профиль  
                  
 
 Re: Методы решения задач с параметрами
Сообщение11.04.2017, 16:11 
Аватара пользователя


26/11/14
754
Brukvalub в сообщении #1207277 писал(а):

(Оффтоп)

Stensen в сообщении #1207258 писал(а):
НЛП :shock:
Будьте бдительны! Аббревиатура НЛП обычно используется для обозначения Нейролингвистического Программирования (это когда к бабушке на улице подходит цыганка и заговаривает ее до такого состояния, что бабушка сама ведет цыганку домой и отдает ей свои "гробовые")
Так что не советую вам использовать НЛП.

(Оффтоп)

Именно поэтому у меня глаза на лоб и вылезли :shock: , сам испугался, что такое написАл.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group